算法设计与分析--贪心算法课本练习和回溯法进阶练习

YY不爱吃烤鸭

已于 2023-05-15 15:11:31 修改

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文章标签：贪心算法算法

于 2023-05-14 18:33:37 首次发布

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贪心算法课本练习

第1关：单源最短路径问题

任务描述

本关任务：编写程序采用贪心算法计算单源最短路径。

编程要求

单独设计Dijkstra算法（函数）来求解单源最短路径问题，在Main函数中初始化一个带权有向图的临界矩阵，并调用函数Dijkstra（）求解并输出结果。说明，Main函数已经给出初始化的邻接矩阵c[][]，为了便于计算，将邻接矩阵c[][]的0行和0列初始化为0，矩阵从c[1][1]到c[n][n]区域表达顶点v1、v2、...vn的邻接关系。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：

测试输入：Main函数已经初始化邻接矩阵；

预期输出：输出结果，按照如下示例格式：

0 10 50 30 60 
2<-1
3<-4<-1
4<-1
5<-3<-4<-1
其中，第一行表示顶点v1分别到v1、v2、v3、v4、v5的单源最短路径长度，v1到自身路径长度为0。第2行表示v1到v2的最短路径，第3行表示v1到v3的最短路径，第4行表示v1到v4的最短路径，第5行表示v1到v5的最短路径。

分析：

Dijkstra的主要思想：

设置顶点集合S，并不断的做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路径称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到s中，同时对数组dist做出必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

c[i][j]表示边（i,j）的权。prev[i]记录的是从源到顶点i的最短路径上i的前一个顶点。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。

代码如下：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<string>
using namespace std;
#define maxint 9999

template<class Type>
void Dijkstra(int n, int v, Type dist[], int prev[], Type c[][6])
{
	//初始化操作 
	bool s[6];//表示点是否在集合中 
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		dist[i] = c[v][i];
		s[i] = false;//初始化时，除了v外所有点均不在s集合中 
		//判断结点是否可达 ，不可达前驱结点设置为0，可达前驱结点为源点 
		if (dist[i] == maxint)
		{
			prev[i] = 0;
		}
		else
		{
			prev[i] = v;
		}
	}
	dist[v] = 0; s[v] = true;//设置源点V到自身的距离为0，将v加入到S顶点集合中
    /*初始化完成*/
    //
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		int temp = maxint;
		int u = v;
		for (int j = 1; j <= n; j++)//求离出发点最近的一个顶点 
		{
			if ((!s[j]) && (dist[j] < temp))//点j在s中且距离出发点最近
			{
				u = j;
				temp = dist[j];
			}
			 
		}
		s[u] = true;//将该点加入s
		for (int j = 1; j <= n; j++)//s集合加入新点的时候需要更新dist[]和prev[] 
		{
			if ((!s[j]) && (c[u][j] < maxint))//如果j点不在s中，且新点与j点相邻 
			{
				Type newdist = dist[u] + c[u][j];//新点到v的距离+新点到j的距离 
				if (newdist < dist[j])//判断距离是不是需要更新
				{
					dist[j] = newdist;
					prev[j] = u;//新点成了j的前驱结点，表示此时从v到j点经过u距离最短 
				}
			}
		}
	}

    //输出结果
	for (int i = v; i <= n; i++)
	{
		cout << dist[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		cout << i;
		int j = i;
		while (j != 1)
		{
			cout << "<-" << prev[j];
			j = prev[j];
		}
		cout << endl;
	}
}
int  main()
{
	int c[6][6] = { {0},{0,0,10,maxint,30,100},
				 {0,maxint,0,50,max