集合 - 基础

常用集合：
自然数集合 $\mathbb{N}$: 0, 1, 2, 3, · · ·
整数集合 $\mathbb{Z}$: · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · ·
有理数集合 $\mathbb{Q}$ 与实数集合 $\mathbb{R}$

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)
Example
A = {a, b, c}, |A| = 3
B = {a, {b, c}}, |B| = 2

设 A,B 是任意两个集合，
如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，记作B ⊆ A.
如果 B ⊆ A 并且 A ≠ B，则称 B 是 A 的真子集，记作B ⊂ A.

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A

证明 A ⊆ B：∀x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ⊆ B.

设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A}
x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A

设 A = {a, b, c}，求他的幂集 P(A) 。
解：P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}

并集：A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}
交集：A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}
A 的补集定义为：
–A = {x|x ∉ A}
差集：A − B = {x|x ∈ A 并且 x ∉ B}

对称差集：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x ∉ B)或者(x ∉ A 并且 x ∈ B)}