math专栏 02.一元函数微分学 02.高阶导数

# 02.高阶导数

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### 高阶导数
- f''(x) = (f'(x))'
- f^n^(x)表示多阶导数


### 导数与函数的单调性
::: tip
f(x) = x^2^
f'(x) = 2x
导数>0时，函数是单调递增的；
单调递增：x>0时，随着x增大，函数值x^2^随之增大
导数<0时，函数是单调递减的；
单调递减：x<0时，随着x增大，函数值x^2^随之减小
:::


### 极值定理
    极值处的导数必然等于0
    导数等于0处不代表一定是极值
![导数性质](imgs/03.png)


### 导数判定凹凸性
::: tip
向下凸的，为凸函数，例如：y=x^2^
向上凸的，为凹函数，例如：y=-x^2^
多种凹凸，为非凸函数，例如：y=x^3^
某区间内，f''(x)<0, 为凸函数
某区间内，f''(x)>0, 为凸函数
:::
::: tip
驻点：f'(x)=0，驻点是函数增减性的交替点
拐点：f''(x)=0，拐点是函数凹凸性的交替点
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### 一元函数泰勒展开
    泰勒展开是通过多项式函数来近似一个可导函数f(x)
    在机器学习中，用于求极值
    保留常数项及一阶项
![导数性质](imgs/04.png)