重庆邮电大学 802数据结构 - 图

图

1.1 图的基本概念

1.1.1 图的定义

图由顶点集V(G)和边集E(G)组成，记为G=(V,E)。 其中E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对（无向图）或有序对（有向图）。

对有向图来说，E(G)是有向边（也称弧(Arc)）的有限集合，弧是顶点的有序对，记为<v,w>，v、w是顶点，v为弧尾（箭头根部），w为弧头（箭头处）。

对无向图来说，E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为(v, w)或者(w, v)，并且(v, w)=(w,v)。

示例：
G=(V,E)
V={1,2,3,4,5,6}
E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(1,5),(5,6),(2,6),(3,6)}

注意：
• 线性表有空表，树有空树，但图没有空图
• 图的顶点集V一定非空，但边集E可以为空
• |V|表图G中顶点的个数，也称图G的阶
• |E|表图G中边的个数

1.1.2 图的基本术语

1.1.2.1 无向图

全部由无向边构成的图

1.1.2.2 有向图

全部由有向边构成的图

1.1.2.3 简单图、多重图

简单图：不存在重复边，不存在顶点到自身的边
多重图：两个顶点之间的边数大于1

1.1.2.4 完全图（简单完全图）

任意两个结点都有直接路径

完全无向图：边数为$\frac{n(n-1)}{2}$
完全有向图：边数为 $n(n-1)$

1.1.2.5 子图、生成子图

G的子图：所有的顶点和边都属于图G的图
G的生成子图：含有G的所有顶点的子图

1.1.2.6 无向图的连通、连通图、连通分量

v和w连通：无向图中,v到w的路径存在
连通图：图中任意两个顶点都是连通的
连通分量：无向图中的极大连通子图

1.1.2.7 有向图的强连通图、强连通分量

v和w强连通：有向图中,从v到w和从w到v都有路径
强连通图：图中任何一对顶点都是强联通的
强连通分量：有向图中的极大连通子图

1.1.2.8 生成树，生成森林

生成树：包含图中全部顶点的一个极小连通图
生成森林：非连通图中,连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

1.1.2.9 顶点的度、入度、出度

顶点的度Degree：图中与该顶点相关联边的数目
入度：指向该顶点的边的数目
出度：从该顶点出去的边的数目

顶点的度 = 出度 + 入度
对于具有n个顶点, e条边的有向图, 出度和=入度和=e
对于具有n个顶点, e条边的无向图, 度和=2e

1.1.2.10 边的权和网

权Weight：边上的数值
网Network：边上标识权的图

1.1.2.11 稠密图、稀疏图

稠密图：边多
稀疏图：边少

1.1.2.12 路径、路径长度、回路

路径Path：在一个图中，路径是从顶点u到顶点v所经过的顶点序列
路径长度：该路径上边的数目
回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

1.1.2.13 简单路径、简单回路

简单路径：顶点不重复出现的路径（ABCDE无重复）
简单回路：除第一个和最后一个顶点，其余顶点不重复出现的回路（ABCDEA无重复）

1.1.2.14 距离

从u到v的距离：从u到v的最短路径长度

1.1.2.15 有向树

有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

1.1.3 图的结论

1.1.3.1 边数和度数的关系

无向图边数*2 = 各顶点度数之和
有向图边数 = 各顶点的入度之和 = 各顶点的出度之和

1.1.3.2 完全图的边数

完全无向图：边数为$\frac{n(n-1)}{2}$
完全有向图：边数为 n(n−1)

1.1.3.3 连通图生成树

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，是无环的

1.1.3.4 连通图的边数

对于一个有n个顶点的图
若是连通无向图，其边的个数至少为n-1（边最少即构成一棵树的情形）
若是强连通有向图，其边的个数至少是n（边最少即构成一个有向环的情形

1.1.3.5 图的存储问题

1. 求有向图节点的入度，必须遍历整个邻接表
2. 有向图邻接表中，删除某个顶点的所有边的时间复杂度 = O(n+e)
3. 一个图的领接矩阵表示唯一, 邻接表表示不唯一

1.1.3.6 图的应用问题

1. 最短路径一定是简单路径
2. 求最短路径是允许图有环的
3. 一个有向图的定点不能排成一个拓扑序列，表明其中存在一个顶点数目大于1的回路，该回路构成一个强连通分量
4. 若有向无环图的拓扑序列唯一，不能唯一确定该图

1.1.4 图的操作

函数	作用
Adjacent(G,x,y)	判断是否存在边
Neighbors(G,x)	列出图中与结点x邻接的边
InsertVertex(G,x)	在图中插入顶点x
DeleteVertex(G,x)	在图中删除顶点x
AddEdge(G,x,y)	若无向边或有向边不存在，则向图中添加该边
RemoveEdge(G,x,y)	若无向边或有向边存在，则向图中删除该边
NextNeighbor(G,x,y)	假设图中顶点y是顶点x的一个邻接点 返回除y外的顶点x的下一个邻接点的顶点号 若y是x的最后一个邻接点，则返回1
Get_Edge_Value(G,x,y)	获取图中边对应的权值
Set_Edge_Value(G,x,y,v)	设置图中边对应的权值

1.2 图的存储方式

1.2.1 邻接矩阵

• 用两个数组来表示图
  • 一个一位数组存储图中顶点信息
  • 一个二维数组存储图中的边或弧的信息
    

1.2.2 邻接表

• 领接表是由两部分组成
  • 顶点用一个一维数组存储
  • 每个顶点的所有领接点构成一个线性表
  • 由于领接点的个数不定，所以用单链表存储
• 无向图称为顶点vi的边表
• 有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表
  

1.2.3 十字链表

• 把邻接表和逆邻接表整合在了一起
• 既容易找到以vi为尾的弧，也容易找到以vi为头的弧
• 容易求得顶点的出度和入度
• 创建图算法的时间复杂度和邻接表相同
  

1.2.4 领接多重表

• 仿照十字链表的方式，对边表结点的结构进行一些改造
• 同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点
  

1.3 图的遍历

1.3.1 深度优先搜索DFS

1.3.1.1 定义和复杂度

• 相当于树的先序遍历
• 根节点就是任意出发的节点
• 子节点就是所有邻近的未访问过的节点

存储方式	时间复杂度
邻接表存储	$O(N+E)$
邻接矩阵存储	$O(N^2)$

1.3.1.2 遍历过程

不撞南墙不回头，撞墙就回头，按照visited表从小到大走

1.3.1.3 生成树

1.3.1.4 生成森林

1.3.2 广度优先搜索BFS

1.3.2.1 定义和复杂度

相当于树的层序遍历

存储方式	时间复杂度
邻接表存储	$O(N+E)$
邻接矩阵存储	$O(N^2)$

1.3.2.2 遍历过程

1.3.2.3 生成树

1.3.2.4 生成森林

1.4 图的应用

1.4.1 最小生成树

1.4.1.1 定义

图G的所有生成树中边的权值之和最小的树

1.4.1.2 性质

• 最小生成树并不是唯一的
• 当图G中的各边权值不相等时，最小生成树是唯一的
• 当G本身就是一棵树时，其最小生成树就是它本身
• 最小生成树的边的权值之和总是唯一的
• 最小生成树的边数 = 顶点数-1

1.4.1.3 算法

1.4.1.3.1 Prim算法

不断通过最小的边 加入新点和新边，直到包括所有的点

当带权连通图的任意一个环中所包含的边权值不同时，最小生成树是唯一的

1.4.1.3.2 Kruskal算法

按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树【不以自我为中心】

1.4.2 最短路径

1.4.2.1 BFS求无向图单源最短路径

从一点出发，通过BFS的visit，不断记录对应点的最短路径长度d[]和前驱结点path[]

1.4.2.2 Dijkstra求有向图单源最短路径

不断加入最近的点，判断当前抵达所有结点的最短路径长度。

1.4.2.3 Floyd求任意两点最短路径

每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短
$A^{(0)}$允许有一个中间结点$v_0$
$A^{(1)}$允许有两个中间结点$v_0$，$v_1$

1.4.3 有向无环图描述表达式

若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图

1.4.4 拓扑排序

• 采用邻接矩阵存储，时间复杂度为$O(|V{|}^2)$
• 采用邻接表存储，时间复杂度为$O(|V|+|E|)$

1.4.5 逆拓扑排序

1.4.6 关键路径

• 计算最早开始时间和最晚开始时间
• 关键路径是指权值之和最大而非边数最多的路径
• 无论存在一条或是多条关键路径，增加任一关键活动的时间都会延长工程的工期
• 只有一条关键路径的时候，减少关键活动的时间会缩短工程的工期
• 有多条关键路径的时候，减少关键活动的时间不一定会缩短工程的工期
• 求关键路径的快速方法：找起点到终点的最长路径

AOE网：

计算过程：

2、参考

【数据结构】连通图、连通分量与强连通图、强连通分量—区别在于强，强强在哪里？