数据结构-二叉树

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构

于 2024-02-02 01:14:45 首次发布

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本文详细介绍了树和二叉树的基本概念，包括节点、父节点、子节点、兄弟节点等，并重点讲解了完全二叉树、满二叉树和平衡二叉树的特性和平衡调整。此外，还涵盖了各种遍历方法，如前序、中序、后序和层次遍历。

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树

树概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

专有名词解释

结点：树中的数据元素都称之为结点；

根节点：最上面的结点称之为根，一颗树只有一个根且由根发展而来，从另外一个角度来说，每个结点都可以认为是其子树的根；

父节点：结点的上层结点，如图中，结点K的父节点是E、结点L的父节点是G；

子节点：节点的下层结点，如图中，节点E的子节点是K节点、节点G的子节点是L节点；

兄弟节点：具有相同父节点的结点称为兄弟节点，图中F、G、H互为兄弟节点；

结点的度数：每个结点所拥有的子树的个数称之为结点的度，如结点B的度为3；

树叶：度数为0的结点，也叫作终端结点，图中D、K、F、L、H、I、J都是树叶；

非终端节点(或分支节点)：树叶以外的节点，或度数不为0的节点。图中根、A、B、C、E、G都是

树的深度(或高度)：树中结点的最大层次数，图中树的深度为4；

结点的层数：从根节点到树中某结点所经路径上的分支树称为该结点的层数，根节点的层数规定为1，其余结点的层数等于其父亲结点的层数+1；

同代：在同一棵树中具有相同层数的节点；

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非跟节点有且仅有一个父节点；
除根节点外，其余结点被分成是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

若一个节点有子树，那么该节点称为子树根节点的“双亲“，子树的跟是该节点的“孩子”。有相同双亲的节点互为“兄弟节点”。一个节点的所有子树上的任何节点都是该节点的后裔。从根节点到某个节点的路径上的所有节点都是该节点的祖先。

节点的度：节点拥有的子树的数目，一个节点含有的子树的个数称为该节点的度，如上图：A结点的度为2；
叶子节点：度为0的节点称为叶子节点，如上图：G、H、I节点为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点，如上图：B、D、C、E、F节点为分支节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点，如上图：A是B的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，如上图：B是A的孩子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点，如上图：B、C是兄弟节点；
树的度：树中节点的最大的度。一棵树中，最大的节点的度称为树的度，如上图：树的度为2；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图：树的高度为4；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图：H、I互为兄弟节点；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图：A是所有节点的祖先；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙，如上图：所有节点都是A的子孙；
无序数：如果树中节点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序数：如果树中结点的各子树的次序是重要的，不可以交换位置。
森林：个或多个不相交的树组成。对森林加上一个跟，森林即成为树；删去跟，树即成为森林。

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

    typedef int DataType;
    struct Node
    {
         struct Node* firstChild1; 
         struct Node* pNextBrother; 
         DataType data; 
    };

二叉树

二叉树的定义

二叉树(Binary tree)是树形结构的一个重要类型。二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。

它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；左、右子树皆为空。

二叉树的特点

（1）每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

（2）二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

二叉树的种类

三种特殊形态

满二叉树

满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。第 n 层的结点数是 2 的 n-1 次方，总的结点个数是 2 的 n次方-1

每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

也就是说，如果一个二叉树的层数为K（根节点是第1层），且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树： 叶结点只能出现在最底层的两层，且最底层叶结点均处于次底层叶结点的左侧。

一颗二叉树中，只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶节点集中在靠左的若干位置上。

叶子节点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子节点集中在树的左部。显然，一颗满二叉树必定是一颗完全二叉树，而完全而二叉树不一定是满二叉树。

完全二叉树的特点：

（1）叶子结点只能出现在最下两层。

（2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

（3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子。

二叉排序/查找/搜索树

二叉排序/查找/搜索树：即为 BST(binary search/sort tree)。满足如下性质：

① 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；

② 若它的右子树上所有结点的值均大于它的根节点的值；

③ 它的左、右子树也分别为二叉排序/查找/搜索树。

对二叉查找树进行中序遍历，得到有序集合。便于检索。

二叉搜索树又称二叉排序树，前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树：

平衡二叉搜索树

平衡二叉树：(Self-balancing binary search tree，AVL) 首先是二叉排序树，此外具有以下性质：

① 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1；

② 并且左右两个子树也都是一棵平衡二叉树；

③ 不要求非叶节点都有两个子结点；

平衡二叉树的目的是为了减少二叉查找树的层次，提高查找速度。平衡二叉树的常用实现有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树。

具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

最后一棵不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。

判断平衡二叉树

1. 是二叉搜索树
2. 任何一个节点的左子树或者右子树都是平衡二叉树（左右高度差小于等于1）

（1）下图不是平衡二叉树因为它不是二叉搜索树，违反第1条件。

（2）下图不是平衡二叉树因为有节点子树高度差大于1，违法第2条件。

（3）下图是平衡二叉树，因为符合1、2 条件。

红黑树

红黑树：即 Red-Black Tree。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，它是在 1972 年由 Rudolf Bayer 发明的。红黑树是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的：它可以在 O(log n) 时间内做查找，插入和删除，这里的 n 是树中元素的数目。红黑树的特性：