地震作用下单自由度体系动力时程分析Newmakbeta求解-附源代码

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本文介绍了Newmark-Beta方法在计算单自由度地震动力时程分析中的应用。通过牛顿第二定律，将加速度表示为速度和位移的函数，并利用假设在每个时间步长内加速度和速度恒定进行积分求解。提供了源代码实现，并提及了影响数值稳定性的参数选择。

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Newmark-Beta方法是一种常用的数值求解方法，用于计算单自由度系统的动力时程分析。其基本思想是在每一个时间步长内，将结构的加速度和速度视为常数，并在该时间步长内对其进行积分，从而计算出下一个时间步长的速度和位移。
假设有一个单自由度系统，其质量为 $m$ ，初始速度为 $v_0$ ，初始位移为 $u_0$ ，外力为 $F (t)$ 。我们可以使用 Newmark-Beta 方法来求解该系统在时间 $t$ 时刻的位移和速度。
首先，我们需要将系统的加速度表示为速度和位移的函数。根据牛顿第二定律，可以得到：
$\ddot{u}(t) + c \dot{u}(t) + ku(t) = F(t)$
其中， $c$ 是阻尼系数， $k$ 是刚度系数。
接下来，可以将加速度表示为速度和位移的函数：
$\ddot{u}(t) = \frac{F(t) - c \dot{u}(t) - ku(t)}{m}$
在 Newmark-Beta 方法中，假设在每个时间步长内，加速度和速度都是常数。因此，我们可以对上述方程进行积分，得到：
$u_{i+1} = u_i + \Delta t v_i + \frac{\Delta t^2}{2} \left[(1 - 2 \beta) \frac{F_i}{m} + 2 \beta \frac{F_{i+1}}{m} + (1 - \gamma) \frac{c}{m} \dot{u}i + \gamma \frac{c}{m} \dot{u}{i+1} + (1 - \alpha) \frac{k}{m} u_i + \alpha \frac{k}{m} u_{i+1} \right]$