质数约数总结（详细总结，各种模板）

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本文详述了质数的判定、筛选方法，包括试除法、埃氏筛和线性筛，并介绍了质因数分解。此外，讨论了约数的相关概念，如正约数集合的求解，以及最大公约数和最小公倍数的计算。最后，涉及互质与欧拉函数的概念及其应用。

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一质数：

质数的分布密度：对于一个足够大的自然数N,不超过N的质数大约有N/ln(N)个，即每ln(N)个数中大约有1个质数。

1 质数的判定：试除法

引理：若一个正整数N为合数，则存在一个能整除N的数T，其中2<=T<= $\sqrt{n}$

根据上述命题，我们只需扫描2~ $\sqrt{n}$ 之间所有的整数，依次检查他们能否整除N,若都不能整除，则N是质数，否则N是合数。试除法的时间复杂度为O( $\sqrt{n}$ ).当然，我们需要特判0，1他们既不是质数，也不是合数。

bool is_prime(int n){
    if(n<2) return false;
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
       if(n%i==0) return false;
    return true;
}

2 质数的筛选：

给定一个整数N,求出1~N之间所有的质数，成为质数的筛选。

埃氏筛：

引理：任意整数x的倍数，2x,3x,4x,……都不是质数。

根据上述命题，我们可以从2开始，由小到大扫描每个数x，把它的倍数2x,3x……， $\left \lfloor N/x \right \rfloor*x$ 标记为合数。当扫描到一个数时，若它尚未被标记，则它不能被2~x-1之间的任何数整除，该数就是质数。

另外，我们可以发现，扫描2和3时，都会把6标记为合数。实际上，小于 $x^{2}$ 的 $x$ 的倍数在扫描更小的数时就已经被标记过了。因此，我们可以对埃氏筛进行优化，对于每个数x,我们只需要从 $x^{2}$ 开始，把 $x^{2}$ , $(x+1)*x$ ,……, $\left \lfloor N/x \right \rfloor*x$ 标记为合数即可。

void get_prime(int n){
    memset(st,0,sizeof(st));
    cnt=0;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){//若没有被筛过，说明是质数
            prime[cnt ++] = i;
            for(int j = i ; j <= n/i; j ++)
                st[i*j] = 1;//进行筛选i的整数倍
        }
    }
}

埃氏筛的时间复杂度氏O( $\sum p\leq N \frac{N}{p}$ )(其中p是质数)=O( $NloglogN$ ).该算法实现简单，效率已经非常接近于线性。

线性筛：

即使在优化后（从 $x^{2}$ 开始），埃氏筛仍然会重复标记合数。例如12既会被2标记，又会被3标记，在标记2的倍数时。12=6*2，在标记3的倍数时，12=4*3，原因是我们没有确定出唯一的产生12的方式。

线性筛对于每个合数i*p,只会被它的最小质因子p筛一次，时间复杂度为O(n).

void get_prime(int n){
    memset(st,0,sizeof(st));
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){//如果没有被筛过，说明是质数
            prime[cnt ++] = i;//储存质数
        }
        for(int j = 0; prime[j] <= n / i; j ++){
            st[prime[j] * i] = 1;//prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}