动态规划解Leetcode最长递增子序列问题，通俗易懂

【问题描述】

题目：Leetcode第300题

难度：中等

问题：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

Tip：

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

        输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
        输出：4
        解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

        输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
        输出：4

【方法：动态规划】

第一步确定状态变量

设一个一维数组dp，长度为nums的长度len。其意义为数组nums中以第 i 个数为结尾的最长递增子序列的长度包括第i 个数，注意这句话。有这句话，我们可以直接初始化dp每一个数为1.因为每个子序列至少有一个数，那就是它自己。

最终输出的答案 ans 即最长递增子序列的长度，就是 数组 dp 中最大的一个数。

第二步确定状态转换方程

设 j 从零到 i 顺次遍历。如果 某一个数 nums [j] 小于 nums[i] 那么 dp[ i ] =max(dp[i] ,dp[ j]+1).

为什么呢？你想，dp[ j ] 是第 j个数为结尾的最长递增子序列的长度，如果nums[ j ]小于 nums [ i ]，那么 dp[ i ] 不就是 dp[ j ] +1 了。那么就有人问了，为啥子不直接 dp[ i ] = dp [ j ] +1 呢？

举个粒子：

        数组nums=[ 2,3,1,4]

        如果直接dp[ i ] = dp [ j ] +1 ，那么dp[ 3 ] (从 0开始计数）是多少？ 1 ！

        如果是dp[ i ] =max(dp[i] ,dp[ j]+1) 呢？

第三步确定边界条件

这一步很简单，上面提到了 ----dp 每一个数初始为1.

【最终代码】

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        int ans=0;
        //ans 记录 dp 中 最大的数
        vector<int> dp(len,1);
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }