采药 （01背包）：【三种解法，从小白到进阶】

题目：

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式
输入文件的第一行有两个整数 T
和 M
，用一个空格隔开，T
代表总共能够用来采药的时间，M
代表山洞里的草药的数目。

接下来的 M
行每行包括两个在 1
到 100
之间（包括 1
和 100
）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围
1≤T≤1000
,
1≤M≤100
输入样例：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例：
3

暴搜：超时！

通过对每个物品选择或不选择的状态进行枚举，计算所有情况的价值，找到最大价值。具体实现可以采用DFS递归进行搜索。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int f[N];
int w[N], v[N];
int ans;

void dfs (int u, int V, int W)
{
    if (V > m)
        return ;
        
    if (u == n)
    {
        ans = max(ans, W);
        return ;
    }
    
    dfs (u+1, V, W);
    dfs (u+1, V+v[u], W+w[u]);
}

int main()
{
    cin >> m >> n;
    
    for (int i=0; i < n; i ++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    dfs (0,0,0);
    cout << ans;
    return 0;
}

二进制枚举：超时

该题可以使用二进制枚举进行求解。枚举每一种草药是否选择，将每种草药选择与不选择两种情况表示为0和1，这样一来就可以用一个二进制数表示一种选草药的方案了。具体地，如果有n种草药，就可以枚举从0到2^n-1的所有二进制数，对于每个二进制数，如果第i位为1，则选择第i种草药，否则不选择。这样就可以枚举出所有的草药选择方案，并且能够通过二进制数快速地判断某种草药是否被选择。

对于每一种草药的选择方案，我们需要计算它们的总时间和总价值，如果总时间小于等于T，则这个方案是可行的，如果总时间大于T，则这个方案是不可行的。对于所有可行的方案，我们可以记录它们的总价值，并取最大值作为答案输出。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N]; // v[i]表示第i件草药的时间，w[i]表示第i件草药的价值

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < m; i ++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    int res = 0; // 存储最大价值

    for (int i = 0; i < 1 << m; i ++) // 枚举采药的方案，1表示选，0表示不选
    {
        int sumv = 0, sumw = 0; // sumv表示选择的草药所需时间，sumw表示选择的草药总价值

        for (int j = 0; j < m; j ++)
            if (i >> j & 1) // 当前方案中选择了第j件草药
            {
                sumv += v[j];
                sumw += w[j];
            }

        if (sumv <= n) res = max(res, sumw); // 当前方案可行，更新最大价值
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

动态规划：

对于每个物品，可以选择装入或者不装入背包，装入背包的情况要满足背包的容量限制，不装入背包则不限制。通过动态规划的思想，使用二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包可以装的最大价值。其中状态转移方程为：

当第i个物品的体积大于背包容量j时：dp[i][j] = dp[i-1][j]。
当第i个物品的体积小于等于背包容量j时：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。
其中w[i]和v[i]分别表示第i个物品的体积和价值。

最终结果为dp[n][W]，其中n表示物品的个数，W表示背包的容量。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >>m >> n;
    
    for (int i=0; i < n; i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j=m; j >= v; j --)
            f[j] = max(f[j], f[j-v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}