Codeforces Round 867 (Div. 3)

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文章介绍了CodeforcesRound867Div.3中G2.MagicTriples难题的硬版本，主要讨论了解题思路和时间复杂度问题。作者提出了值域分治的策略，对于数值小于1e6的部分采用暴力分解，复杂度为O(sqrt(x))，对于大于等于1e6的部分，通过顺序枚举因子来优化，避免了超时错误(TLE)。代码示例展示了实现这一策略的方法。

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G2.Magic Triples (Hard Version)

思路：与G1唯一不同的是值域上界ulim变成了1e9，若我们还是按照原先做法 $O(n*\sqrt{ulim})$ ,TLE，向大佬学习了一下，学到了值域分治！！！ orz %%%

令mxm = 1e6，

对于 $x < m x m$ 的数，我们考虑直接暴力分解，复杂度是 $O(\sqrt{x})$ ，最大有1e3，接下来枚举x的因子，即按照G1思路

对于 $x >= m x m$ 的数，我们考虑到上界是1e9，可以直接去顺序枚举因子i，由于 $i * x <= u l im$ ，所以时间复杂度为 $O({ulim/x})$ ，至多1e3

当时 $x = m x m$ 时，2项都是1e3左右，不足以被卡

ps：对于 $x >= m x m$ 统计答案时要先判断 i 是否 x 的因子,不然会TLE，个人理解是 x mod i 为0先保证了i是x的因子，可以先把不是因子的舍去，但是如果在后面写x%i==0由于map好像本身查找也有一点时间复杂度，然后就会爆

Code：

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define rep(i,a,n) for(int i=a; i<=n; i++)
#define ios ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define pb push_back
using namespace std;

const int mxn=2e5+10, mxm=1e6, ulim=1e9;
int a[mxn];
vector<int> rs(int x){
	vector<int> v;
	for(int i=1; i*i<=x; i++){
		if(x%i==0){
			v.pb(i);
			if(i!=x/i) v.pb(x/i);
		}
	}
	sort(v.begin(),v.end());
	return v;
}
void solve(){
	auto get_same=[&](int x)-> long long{
		return 1ll*x*(x-1)*(x-2);
	};
	int n;
	cin>>n;
	map<int,int> Mp;
	rep(i,1,n) cin>>a[i], Mp[a[i]]++;
	long long ans=0;
	for(auto &[x,y]:Mp){
		ans+=get_same(y);
		if(x<=mxm){
			auto v=rs(x);
			for(auto it:v){
				if(it==1) continue;//因子为1已经统计过
				if(1ll*it*x>ulim) break;
				if(Mp.count(x/it)&&Mp.count(x*it)){
					ans+=1ll*y*Mp[x/it]*Mp[x*it];
				}
			}
		}
		else{
			for(int i=2; 1ll*i*x<=ulim; i++){
				if(x%i==0){
					if(Mp.count(x/i)&&Mp.count(x*i)){
						ans+=1ll*y*Mp[x/i]*Mp[x*i];
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
}
signed main(){
	ios;
	int t=1;
	cin>>t;
	while(t--){
		solve();
	}
	return 0;		
}