阿兰·图灵如何证明的通用图灵机不可判定“停机问题

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阿兰·图灵如何证明的通用图灵机不可判定“停机问题

我还是不太理解，我停机预测器已经预测该程序会停机了，那么这个机器就应该停止了呀，实际情况应该是就是这个计算机会停机呀

这里指的反向操作是什么操作呢？

我还是觉得怪怪的，因为我认为反例程序是在停机预测器已经给出输出之后，给出的输入，如果我最开始这个停机预测器就输出会停机，那么它不就停机了吗？

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阿兰·图灵如何证明的通用图灵机不可判定“停机问题

阿兰·图灵（Alan Turing）提出了著名的停机问题（Halting Problem），即判定一个程序能否在给定的输入下停止运行。他使用了反证法来证明通用图灵机无法判定停机问题。

图灵假设存在一个称为“停机预测器”的程序，该程序可以接受任何程序和输入，并预测该程序在给定输入下是否会停机。然后，他构造了一个新的程序，称为“反例程序”，该程序利用停机预测器的输出进行反向操作，即如果停机预测器预测该程序会停机，则该程序进入一个无限循环；如果停机预测器预测该程序不会停机，则该程序停止运行。

接下来，图灵让停机预测器处理这个反例程序本身作为输入。如果停机预测器预测该反例程序会停机，则根据反例程序的设计，它会进入无限循环；如果停机预测器预测该反例程序不会停机，则根据反例程序的设计，它会停止运行。这样，无论停机预测器给出何种预测，都会产生与预测相矛盾的结果，即停机预测器无法准确预测反例程序的行为。

由此，图灵得出结论：不存在一个通用算法能够判定任意程序在给定输入下是否会停机。这证明了停机问题的不可判定性，即无法通过通用图灵机来解决停机问题。

图灵的停机问题证明对计算机科学的发展产生了深远的影响，它揭示了计算机无法解决的一类问题的存在，为计算理论和计算机可计算性的研究提供了重要基础。

我还是有些没有理解为什么它会进入无限循环呢？

“图灵假设存在一个称为“停机预测器”的程序，该程序可以接受任何程序和输入，并预测该程序在给定输入下是否会停机。然后，他构造了一个新的程序，称为“反例程序”，该程序利用停机预测器的输出进行反向操作，即如果停机预测器预测该程序会停机，则该程序进入一个无限循环；如果停机预测器预测该程序不会停机，则该程序停止运行。”

让我进一步解释一下。

在图灵的证明中，停机预测器是一个假设，用于推导出矛盾结果。假设停机预测器可以接受任何程序和输入，并预测程序在给定输入下是否会停机。

然后，图灵构造了一个新的程序，称为反例程序。这个反例程序利用停机预测器的输出进行反向操作。具体而言：

1. 如果停机预测器预测该程序会停机，那么反例程序进入一个无限循环。

   • 这是因为停机预测器的预测与实际情况相反，即停机预测器认为该程序会停机，但实际上反例程序会继续运行，形成一个无限循环。

2. 如果停机预测器预测该程序不会停机，那么反例程序停止运行。

   • 这是因为停机预测器的预测与实际情况相反，即停机预测器认为该程序不会停机，但实际上反例程序会停止运行。

通过这样的构造，无论停机预测器给出何种预测，都会产生与预测相矛盾的结果。因此，停机预测器无法准确预测反例程序的行为，从而证明了停机问题的不可判定性。

总结来说，图灵的证明通过构造一个特殊的程序，使得停机预测器对该程序的行为无法做出准确的预测，导致矛盾结果的产生。这就说明了停机预测的困难性，即无法通过一个通用算法来判断任意程序在给定输入下是否会停机。

我还是不太理解，我停机预测器已经预测该程序会停机了，那么这个机器就应该停止了呀，实际情况应该是就是这个计算机会停机呀

对于停机预测器的预测和实际情况之间的矛盾，让我们具体看看反例程序是如何构造的。

假设停机预测器对于反例程序的预测是该程序会停机。根据这个预测，反例程序会进入一个无限循环，即不会停机。这与停机预测器的预测相矛盾。

实际上，这个矛盾表明停机预测器无法准确预测反例程序的行为。如果停机预测器认为该程序会停机，但实际上它进入无限循环，那么停机预测器的预测是错误的。

换句话说，反例程序的构造就是为了使停机预测器的预测结果与实际行为产生矛盾，不论停机预测器如何预测，都会导致与实际结果相反的情况发生。

这个证明的目的是表明，停机问题是不可判定的，即无法通过一个通用算法来准确预测任意程序在给定输入下是否会停机。虽然在实际中我们可以对很多程序进行停机性质的判断，但对于所有程序而言，没有一个通用算法可以保证在所有情况下都能准确预测停机性质。

这里指的反向操作是什么操作呢？

“图灵假设存在一个称为“停机预测器”的程序，该程序可以接受任何程序和输入，并预测该程序在给定输入下是否会停机。然后，他构造了一个新的程序，称为“反例程序”，该程序利用停机预测器的输出进行反向操作，即如果停机预测器预测该程序会停机，则该程序进入一个无限循环；如果停机预测器预测该程序不会停机，则该程序停止运行。”

在这里，"反向操作"指的是根据停机预测器的输出结果进行相反的行为。具体来说，如果停机预测器预测某个程序会停机，那么"反例程序"会进入一个无限循环，即不会停机；如果停机预测器预测某个程序不会停机，那么"反例程序"会停止运行。

这样设计"反例程序"的目的是让它与停机预测器的预测结果产生矛盾。无论停机预测器的预测结果如何，"反例程序"的行为都与预测结果相反。这就导致了停机预测器无法在所有情况下准确预测程序的停机性质。

通过这种反向操作，图灵证明了通用图灵机无法判定"停机问题"，即无法通过一个通用算法来准确预测任意程序在给定输入下是否会停机。

我还是觉得怪怪的，因为我认为反例程序是在停机预测器已经给出输出之后，给出的输入，如果我最开始这个停机预测器就输出会停机，那么它不就停机了吗？

非常抱歉，前面的回答可能有些误导性。我理解你的困惑了。

在图灵的证明中，确实存在一些混淆之处。我会尝试更清晰地解释。

图灵的证明是通过反证法进行的。他假设存在一个停机预测器，可以准确地预测一个程序在给定输入下是否会停机。然后，他构造了一个名为"反例程序"的程序，该程序的行为会与停机预测器的输出相矛盾。

具体来说，如果停机预测器预测"反例程序"会停机，那么"反例程序"会进入一个无限循环，从而与停机预测器的预测结果相矛盾。这是因为停机预测器错误地预测了"反例程序"的停机性质。

同样地，如果停机预测器预测"反例程序"不会停机，那么"反例程序"会停止运行，也与停机预测器的预测结果相矛盾。这意味着停机预测器无法在所有情况下正确地预测一个程序的停机性质。

重要的是要理解，"反例程序"的行为是基于停机预测器的输出结果进行设计的。停机预测器给出的输出作为输入被提供给"反例程序"，然后"反例程序"根据这个输出进行相反的行为。

请注意，图灵的证明是基于理论上的分析和推理，而实际情况可能更为复杂。停机问题是一个经典的计算机科学难题，至今仍然存在活跃的研究领域。