202312-2 因子化简

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样例输入（便于复制粘贴）：

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2 2
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样例输出：

2238728
1
10000000000

【题目所需代码模块】

1.质数判断

具体判断某一个数x是否为质数，从2开始向后遍历到x（记为i），如果x%i==0，则证明x除了1和自身还有其他因子，也就是x是一个合数。

简单粗暴版本代码

bool IsZhi(int x)//判断是否为质数
{
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}

一个数的约数是成对存在，也就是说：如果一个数是合数，则这个数拆分为a*b的形式时，a和b中必有一者是小于√x，一者是大于√x，例如100,你找到个约数5,那么一定有个约数20,因为100/5=20。
这也就是意味着：判断一个数是否除了1和自身，没有其他因子时，只需要从i=2遍历到i=√x就可以了。 于是便有了下面优化后的代码。

优化后版本代码

bool IsZhi(int x)//判断是否为质数
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)//这里也可以写成i<sqrt(x)，也可以写成i<x/i
    {
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}

2.求解合数因子的指数

问：如果该数是一个合数，并且已经知道该合数有质数因子i，则如何求解这个质数因子的次幂呢？
答：利用余数和除数（由于很久没有写代码题了，手很生，所以这里就浅浅记录一下）

代码

int beishu=0;
while(n%i==0)//如果n取余i等于0，则意味着n中还含有一个因子i，也就需要beishu++
{
    n=n/i;
    beishu++;
}

【题目分析】

1. 90分超时思路：

从i=2开始遍历到n：

• 依次判断i是否为质数，如果i是质数，则求n中有多少个i，也就是i的指数（或叫幂次）beishu；
• 之后判断幂次是否大于等于阈值k，如果大于等于k，则将i的beishu次方留下来。

优化1：

由于判断i是否为质数，超时。

于是优化，将判断质数给省略掉，这是因为，i是从2开始遍历的，从小的质数开始遍历，之后并求出了n中有多少个i；因此类推，这就相当于将之后n的合数因子给逐步化简了。

优化2：

由于从i=2开始遍历到n ，超时。
于是优化，这里的优化原因和 ‘ 质数判断代码模块’ 的优化原理一毛一样，所以下面就复制粘贴一下原因：

一个数的约数是成对存在，也就是说：如果一个数是合数，则这个数拆分为a*b的形式时，a和b中必有一者是小于√x，一者是大于√x，例如100,你找到个约数5,那么一定有个约数20,因为100/5=20。
这也就是意味着：判断一个数是否除了1和自身，没有其他因子时，只需要从i=2遍历到i=√x就可以了。 于是便有了下面优化后的代码。

2.90分啰嗦版代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

bool IsZhi(int x)//判断是否为质数
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}

void Sample(long long n, int k)
{
    //int reserve_num=0;
    long long int reserve_sum=1;
    for(int i=2;i*i<n;i++)//因为题目中说k是大于1的，故只需遍历到根号n即可
    {
        //bool zhishu=IsZhi(i);
        //if(zhishu==true)//因为从2开始除，所以后面的合数都被排除了
        //{
            int beishu=0;//,cur=n;
            while(n%i==0)
            {
                n=n/i;
                beishu++;
            }
            if(beishu>=k)
            {
                //reserve_num+=1;
                long long dot=pow(i,beishu);
                reserve_sum*=dot;
                //n/=dot;
                //cout<<dot<<"========"<<reserve_sum<<"========="<<i<<endl;
            }
            //if(i<200)
            //cout<<i<<"========"<<endl;
        //}
    }
    //if(reserve_num==0)cout<<"1"<<endl;
    //else cout<<reserve_sum<<endl;
    cout<<reserve_sum<<endl;
}


int main()
{
    int q,k;
    long long n;
    cin>>q;
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        cin>>n>>k;
        Sample(n,k);
    }
    return 0;
}

3.100分完整代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

void Sample(long long n, int k)
{
    long long int reserve_sum=1;
    for(int i=2;i*i<n;i++)//因为题目中说k是大于1的，故只需遍历到根号n即可
    {
            int beishu=0;
            while(n%i==0)
            {
                n=n/i;
                beishu++;
            }
            if(beishu>=k)
            {
                long long dot=pow(i,beishu);
                reserve_sum*=dot;
            }
    }
    cout<<reserve_sum<<endl;
}

int main()
{
    int q,k;
    long long n;
    cin>>q;
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        cin>>n>>k;
        Sample(n,k);
    }
    return 0;
}