积性函数及欧拉函数性质以及常用模板

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本文介绍了欧拉函数的基本概念，如定义、与互质数的关系，以及积性函数的特性。着重展示了如何通过埃氏筛法和线筛法计算欧拉函数，并举例了C++代码实现。此外，文中详细阐述了欧拉函数的五个关键性质。

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欧拉函数：φ(n)=1~n中与n互质的数的个数；

积性函数：如果当a,b互质时，有f(a*b)=f(a)*f(b),称f是积性函数，

互质：gcd(n,i)=1 ，最大公约数为1；

性质1：任意n>1,1~n中与n互质的数和为n*φ（n）/2；

性质2：若a,b互质，则φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

性质3：

性质4.设p是质数，若n%p==0且n%（p^2）==0,则φ(n)=φ(n/p)*p;

性质5.设p是质数，若n%p==0但n%（p^2）！=0,则φ(n)=φ(n/p)*(p-1);

欧拉函数计算：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef pair<int,int>PII;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int primes[N],cnt;
PII factor[2000];
int d[N],cntd;
int cntf;
bool st[N];
bool is_primes(int n)
{
    if(n<50000)return !st[n];

    for(int i=1;i<=cnt&&primes[i]<=n/primes[i];i++)
        if(n%primes[i]==0)
        return false;
    return true;
}
void get_primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
            primes[++cnt]=i;

        for(int j=1;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=true;
            if(i%primes[j]==0)
                break;
        }
    }
}
void dfs(int n,int u,int ans)
{
    if(n==1)
    {
        d[++cntd]=ans;
        return ;
    }

    if(n>primes[u]&&is_primes(n-1)) d[++cntd]=ans*(n-1);

    for(int i=u;primes[i]<=n/primes[i];i++)
    {
        int x=1+primes[i],y=primes[i];
        for(;x<=n;y*=primes[i],x+=y)
            if(n%x==0)
            dfs(n/x,i+1,ans*y);
    }
}

int main()
{
    for(int i=1;i<=10;i++)
        cout<<get_phi(i)<<endl;


    get_primes(50000);
    st[1]=1;
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        cntd=0;
        dfs(n,1,1);
        printf("%d\n",cntd);
        if(cntd)
        {
            sort(d+1,d+1+cntd);
        for(int i=1;i<=cntd;i++)
            printf("%d ",d[i]);
        puts("");
        }
    }
    return 0;
}

求1~n的欧拉函数

埃氏筛法：

int get_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            primes[++cnt]=i;
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
}

线筛法：

int get_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
            primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=true;
            if(i%primes[j]==0)
            {
                phi[t]=phi[i]*primes[j];
                break;
            }else
            {
                phi[t]=phi[i]*(primes[j]-1);
            }
        }
    }
}