完全背包问题

完全背包问题

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一、完全背包问题和01背包问题的区别

0/1 背包问题（0/1 Knapsack Problem）

1. 物品的选择限制：

   • 在 0/1 背包问题中，每种物品要么被选择放入背包，要么不被选择放入，即每个物品最多只能选一次（0表示不选，1表示选）。

2. 限制条件：

   • 0/1 背包问题通常具有限制条件，其中包括一个固定的背包容量限制（背包的最大容量），通常用一个正整数 W 表示。
   • 问题的目标是选择物品，使得它们的总重量不超过背包容量限制 W，同时总价值最大化。

3. 动态规划状态定义：

   • 在 0/1 背包问题中，通常使用一个二维数组 dp[i][j] 来表示前 i 个物品在背包容量为 j 时的最大价值。
   • 状态转移方程通常如下：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])，表示在考虑第 i 个物品时，可以选择放入或不放入背包，取两者中的最大值。

完全背包问题（Complete Knapsack Problem）

1. 物品的选择限制：

   • 在完全背包问题中，每种物品可以选择放入背包的次数是无限的，即每个物品可以被选择放入背包多次。

2. 限制条件：

   • 完全背包问题同样具有一个固定的背包容量限制 W，但每个物品可以选择放入多次，不像 0/1 背包中每个物品只能选一次。

3. 动态规划状态定义：

   • 在完全背包问题中，同样使用一个二维数组 dp[i][j] 来表示前 i 个物品在背包容量为 j 时的最大价值。
   • 不同的是，状态转移方程稍有不同，通常如下：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])，表示在考虑第 i 个物品时，可以选择放入或不放入背包，而且可以多次选择放入物品 i，取两者中的最大值。

总结区别

• 0/1 背包问题中，每个物品要么选中要么不选中，而在完全背包问题中，每个物品可以选择放入多次。
• 0/1 背包问题的限制条件中，每个物品只能被选中一次，而完全背包问题中，每个物品可以被选中多次。
• 解决 0/1 背包问题和完全背包问题的动态规划算法的状态转移方程略有不同，主要是在计算放入物品时的逻辑上有差异。

二、本例子中背包问题的描述

在这个例子中，我们有三个物品，它们的重量分别为1、3、4，对应的价值为15、20、30。背包的容量限制为4，每个物品可以选择放入多次。

三、动态规划思路

1. 定义状态

首先，我们需要定义一个状态，以便表示问题的子问题和最优解。在这个问题中，我们可以使用二维数组 dp[i][j] 来表示前i个物品中，在背包容量为j时所能获得的最大价值。其中，i表示物品的数量，j表示背包的容量。

2. 初始化状态

我们需要初始化状态数组 dp，和0/1背包初始化方式不同的是，完全背包中只有 dp[0][j] 应该初始化为0，因为没有物品可供选择；第一行是不需要进行初始化的，因为第一个物品可以放入多次，遍历后面的物品时使用相同的步骤即可。

3. 状态转移方程

接下来，我们需要找到状态之间的转移关系，即如何从子问题的最优解推导出原问题的最优解。在这个问题中状态转移方程如下：

• 如果当前背包容量 j 小于物品 i 的重量 weight[i]，则无法将物品 i 放入背包，此时 dp[i][j] 等于上一个状态 dp[i-1][j] 的值。
• 如果 j 大于等于 weight[i]，我们可以选择放入物品 i 或不放入物品 i。因此，dp[i][j] 取两者中的最大值：
  • 不放入物品 i，即 dp[i-1][j]。
  • 放入物品 i，即 dp[i][j - weight[i]] + value[i]，这里的 dp[i][j - weight[i]] 表示在考虑物品 i 时，剩余背包容量 j - weight[i] 的最优解，加上物品 i 的价值 value[i]（0/1背包中，因为不能使用同一种物品，所以是dp[i-1][j-weight[i]]+ value[i]）。

4. 填充状态表格

通过上述状态转移方程，我们可以通过双重循环遍历所有的子问题，从而填充状态表格 dp。外层循环遍历物品 i，内层循环遍历背包容量 j，根据状态转移方程更新 dp[i][j]。

5. 获取最优解

最后，我们可以通过 dp[weight.size() - 1][bagweight] 来获取问题的最优解，即在考虑所有物品并且背包容量为 bagweight 时的最大价值。

四、二维数组代码

1. 首先，定义三个关键数组：

   • weight：物品的重量数组。
   • value：物品的价值数组。
   • dp：动态规划状态表格，dp[i][j] 表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值。

2. 在 for 循环中，遍历每一个物品 i，以及每一个可能的背包容量 j，遍历顺序可以更换。

3. 在内部的 if-else 条件语句中，你根据状态转移方程更新 dp[i][j]：

   • 如果 j 小于物品 i 的重量 weight[i]，则无法放入物品 i，所以 dp[i][j] 等于上一个状态 dp[i-1][j]（表示不放入物品 i）。
   • 否则，选择放入物品 i 或不放入物品 i，取两者中的最大值，这样就保证了在背包容量为 j 时的最大价值。

   #include <iostream>
   #include <vector>
   using namespace std;
   
   void completePack()
   {
       vector<int> weight = { 1, 3, 4 };
       vector<int> value = { 15, 20, 30 };
       int bagweight = 4;
       vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
   
       for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
           for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
               if (j < weight[i]) {
                   // 当前背包容量不足以放入物品 i
                   dp[i][j] = (i > 0) ? dp[i - 1][j] : 0;
               }
               else {
                   // 选择放入物品 i 或者不放入
                   dp[i][j] = max((i > 0) ? dp[i - 1][j] : 0, dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
               }
           }
       }
   
       // dp[weight.size() - 1][bagweight] 即为问题的最优解
       cout << "Maximum value: " << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
   }
   
   int main()
   {
       completePack();
       return 0;
   }
   

五、一维数组

void CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    CompletePack();
}

void CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量,注意这里j不可以直接初始化成weight[i]，因为第一个物品就有可能大于bagWeight
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    CompletePack();
}

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