基础数据结构----单调队列与滑动窗口

单调队列与滑动窗口

下面介绍单调队列的基本应用，了解如何通过单调队列获得优化。注意队列中“删除、去尾、窗口”的操作。我们以洛谷P1886为例子：

题目描述

有一个长为 $n$ 的序列 $a$，以及一个大小为 $k$ 的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值。
例如：
The array is $[1,3,-1,-3,5,3,6,7]$, and $k=3$。

输入格式

输入一共有两行，第一行有两个正整数 $n,k$。
第二行 $n$ 个整数，表示序列 $a$

输出格式

输出共两行，第一行为每次窗口滑动的最小值
第二行为每次窗口滑动的最大值

样例 #1

样例输入 #1

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

样例输出 #1

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

提示

【数据范围】
对于 $50\%$ 的数据，$1\le n\le 10^5$；
对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le n\le 10^6$，$a_i\in [-2^{31},2^{31})$。

本题用暴力法很容易编程：从头到尾扫描，每次检查k个数，一共检查O(nk)次。暴力法显然会超时。下面用单调队列求解，它的时间复杂度为O(n)。
在本题中，单调队列有以下特征：

• 队头的元素始终是队列中最小的。根据需要输出队头，但是不一定弹出。
• 元素只能从队尾进入队列，从队头、队尾都可以弹出。
• 序列中每个元素都必须进入队列。

上面的题解有点抽象，我们以食堂排队打饭为例说明它。
大家到食堂排队打饭时都有一个心理，在打饭之前先看看有什么菜，如果不好吃就走了。不过，能不能看到和身高有关，站在队尾的人如果个子高，眼光就能越过前面的人看到里面的菜；如果个子矮，会被挡住看不见。
一个矮个子来排队，他希望队伍前面的人都比他更矮。如果他会魔法，他来排队时，队尾比他高的人就自动从队尾离开，新的队尾如果仍比他高，也会离开；最后新来的矮个子成了新的队尾，而且是最高的。他终于能看到菜了，让人兴奋的是，菜很好吃，所以他肯定不想走。
假设每个新来的人的魔法本领都比队列中的人更高，这个队伍就会变成这样：每个新来的人都能排到队尾，但是都会被后面来的高个子赶走。这样一来，这个队列就会始终满足单调性：从队头到队尾，由矮到高。
但是，让这个魔法纳闷的是，打饭阿姨一直忙自己的，顾不上打饭。所以排头的人等了一会儿，就走了，等待时间就是k。这里有一个附带现象：队伍的长度不会超过k。
那么输出是什么呢？每次新来一个排队的人，排头如果还没走，他就向阿姨喊一声，这就是输出最小值min。

以上是本题的实现模型，其本质是贪心思想。
下面举例描述算法流程，队列为{1，3，-1，-3，5，3，6，7}，我们可以理解为身高。以输出最小值为例，下面表格中“输出队首”是本题的结果：

元素进入队尾	元素进队顺序	队列	窗口范围	队首是否在窗口内	输出队首	弹出队尾	弹出队首
1	1	{1}	[ 1 ]	是
3	2	{1,3}	[ 1 2 ]	是
-1	3	{-1}	[ 1 2 3 ]	是	-1	3,1
-3	4	{-3}	[ 2 3 4 ]	是	-3	-1
5	5	{-3,5}	[ 3 4 5 ]	是	-3
3	6	{-3,3}	[ 4 5 6 ]	是	-3	5
6	7	{3,6}	[ 5 6 7 ]	-3否，3是	3		-3
7	8	{3,6,7}	[ 6 7 8 ]	是	3

单调队列的时间复杂度：每个元素最多入队一次、出队一次，且出入队时间都是O(1)，因此总时间复杂度为O(n)。因为题中需要逐一处理所有n个数，所以O(n)已经是能达到的最优复杂度。
从上面的过程中可以看出，单调队列有两个重要的操作：删头、去尾：

1. 删头：如果队头的元素脱离了窗口，这个元素就没有用了，弹出它
2. 去尾：如果新元素入队时，原队列的存在破坏了队列的单调性，就弹出它

以下给出具体的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000005;
int a[N];
deque<int> q;//队列中的数据实际上是元素在原序列中a[n]的位置 

int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while(!q.empty() && a[q.back()] > a[i])
		{//新来的元素比队尾元素小 
			q.pop_back();//去尾 
		}
		q.push_back(i);//元素下标进入队尾
		
		if(i >= m)
		{//每个窗口输出一次
			while(!q.empty() && q.front() <= i - m)
			{//注意这里q.front() <= i - m 是判断该元素是否应该在窗口内 
				q.pop_front();//删头	
			} 
			cout << a[q.front()] << " "; 
		} 
	}
	cout << endl;
	while(!q.empty())
	{//清空队列，下面进行找最大值 
		q.pop_front();
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while(!q.empty() && a[q.back()] < a[i])
		{
			q.pop_back();//去尾 
		}
		q.push_back(i);
		if(i >= m)
		{
			while(!q.empty() && q.front() <= i - m)
			{
				q.pop_front();//删头 
			}
			cout << a[q.front()] << " ";
		}
	} 
	cout << endl;
	return 0;
}

测试结果如下：

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