【图像重建】基于Wirtinger梯度下降优化的无透镜成像重建Matlab代码-优快云博客

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🔥 内容介绍

在当今成像技术领域，“小型化”“高集成” 已成为重要发展方向。传统光学成像系统依赖复杂的透镜组实现光线聚焦与图像还原，不仅增加了设备体积和重量，还可能因透镜像差、光路损耗等问题影响成像质量。而无透镜成像技术凭借 “去除透镜、直接传感” 的独特优势，在医疗内窥镜、微型无人机航拍、便携式检测设备等场景中展现出巨大潜力 —— 它能将成像模块压缩至毫米级，同时降低硬件成本与功耗。

然而，无透镜成像的 “无透镜” 特性也带来了核心挑战：传感器接收到的并非直接可观测的目标图像，而是经过物体散射、衍射后的 “编码光场信号”。这种信号与原始图像之间存在复杂的非线性映射关系，传统基于线性逆变换的重建方法（如直接傅里叶变换）往往会产生严重的伪影、细节丢失，难以满足实际应用对成像精度的要求。因此，如何设计高效的优化算法，从复杂的测量信号中精准恢复目标图像，成为无透镜成像技术落地的关键。而Wirtinger 梯度下降优化，正是解决这一难题的核心技术之一。

一、无透镜成像与图像重建基础

1.1 无透镜成像的原理：从 “直接成像” 到 “编码重构”

传统透镜成像的本质是 “几何光学聚焦”—— 透镜将物体发出的光线汇聚到传感器平面，形成与物体一一对应的实像，整个过程可通过线性光学模型近似描述。而无透镜成像则基于 “波动光学” 原理：当光线穿过物体后，会因衍射效应发生传播方向改变，最终在传感器上形成 “干涉图样”（也称为 “全息图” 或 “衍射图样”）。

简单来说，无透镜成像系统的工作流程可分为两步：

信号采集：物体被相干光源（如激光）照射后，产生的散射光直接投射到图像传感器（如 CMOS）上，传感器记录下包含物体信息的 “强度测量值”（注：传感器只能捕获光的强度，无法直接测量相位，这也是重建的难点之一）；

图像重建：通过算法对传感器采集到的强度信号进行 “解码”，反向推导物体的原始光场分布（包含强度与相位信息），最终恢复出可观测的目标图像。

1.2 图像重建的核心目标：解决 “相位丢失” 与 “非线性映射”

无透镜成像重建的核心痛点主要有两个：

相位丢失问题：光场包含 “强度” 和 “相位” 两个维度信息，但现有传感器只能测量强度，相位信息的缺失导致测量信号与原始图像之间的映射关系不完整，直接逆推会产生多解性；

非线性映射问题：光的衍射过程遵循亥姆霍兹方程，属于非线性物理过程，这使得测量信号与原始图像之间的关系无法通过简单的线性变换描述，传统线性重建方法效果不佳。

因此，无透镜成像重建算法需要同时解决 “相位恢复” 和 “非线性逆问题”—— 而 Wirtinger 梯度下降正是针对这类 “复值信号优化” 和 “非线性逆问题” 设计的高效优化方法。

二、Wirtinger 梯度下降：为复值图像优化而生的数学工具

2.1 从 “实梯度” 到 “Wirtinger 梯度”：为何需要特殊的梯度定义？

在传统实值信号优化（如普通图像的去噪、锐化）中，我们通过计算目标函数对变量的 “实梯度” 来确定优化方向 —— 梯度的负方向即为函数值下降最快的方向。但在无透镜成像中，原始光场是复值信号（包含实部 “强度相关项” 和虚部 “相位相关项”），目标函数（如 “重建图像与真实图像的误差”）是关于复变量的函数，此时传统实梯度的定义不再适用。

Wirtinger 梯度（Wirtinger Derivative）正是为解决 “复变量函数求导” 问题而提出的数学工具。它通过将复变量分解为 “实部” 和 “共轭部分”，定义了一套适用于复值函数的梯度计算规则，能够在复域中高效寻找目标函数的极小值点 —— 这恰好匹配无透镜成像中 “复值光场重建” 的需求。

2.2 Wirtinger 梯度下降的核心思想：迭代逼近最优解

Wirtinger 梯度下降的本质是 “迭代优化”：从一个初始猜测的复值光场（如随机生成的复信号）出发，通过不断计算目标函数的 Wirtinger 梯度，调整复值光场的实部和虚部，逐步降低 “重建光场与真实光场的误差”，最终收敛到最优解。其核心逻辑可概括为三步：