【二分搜索 C/C++】洛谷P3853 路标设置

2025 - 02 - 26 - 第 59 篇
作者(Author): 郑龙浩 / 仟墨(CSND)
【二分搜索 C/C++】

洛谷P3853 路标设置

题目背景

B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第 $1$ 行包括三个数 $L,N,K$，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第 $2$ 行包括递增排列的 $N$ 个整数，分别表示原有的 $N$ 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 $[0,L]$ 内。

输出格式

输出 $1$ 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

输入输出样例 #1

输入 #1

101 2 1
0 101

输出 #1

51

说明/提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点 $50$ 或 $51$ 个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数 $51$。

$50\%$ 的数据中，$2\le N\le 100$，$0\le K\le 100$。

$100\%$ 的数据中，$2\le N\le 100000$, $0\le K\le 100000$。

$100\%$ 的数据中，$0<L\le 10000000$。

思路

和洛谷P2678跳石头非常相似，我感觉它俩属于一种题型

利用二分搜索法，查找“空旷指数”

• 搜索范围：0 ~ length
• 判断当空旷指数是 mid 时，增设的路标是否 <= 最多可增设的路标，如果是，则就满足条件，可以将空旷指数增大(left = mid + 1)，继续循环尝试是否还有更大且更适合的空旷指数；如果不是，则就证明所添加的路标太多了，超过了指定的数量，就要减少路标的数量，就要将空旷指数降低(right = mid - 1)

因为之前写过了 洛谷P2678跳石头的笔记，这两个题非常像，我也不进行过多的思路解析和笔记记录了。

代码

// 洛谷P3853 路标设置
// 2025-02-26
// 郑龙浩/仟濹
// length - 公路的长度
// cnt - 原有路标数量
// max_cnt - 最多可增设的路标
// arr - 存储所有路标与起点间的距离
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int length, cnt, max_cnt; // 公路长度 原有路标数量 最多可增设的路标
vector <int> arr;

bool check( int num ){  
    int sum = 0; // 放置数量
    int pre = arr.at(0); // 存放左边路标的位置(与起点之间的距离)
    for( int curr : arr ){
        // 如果两个路标的距离 > 相邻路标的最大距离(空旷指数)
        // 就在此中间加一个路标(原来的左边的路标与起点的距离+相邻路标的最大距离)，且路标数量++
        if ( curr - pre > num ){
            // 需要添加的路标数目为 (curr - pre - 1) / num
            sum += (curr - pre - 1) / num;
            // 如果安置的路标的数量 > 设限路标，就返回错误
            if( sum > max_cnt ) return false;
        }// 如果 两个路标的距离 <= 相邻路标的最大距离(空旷指数),则表示连个路标之间的距离正常，将左边的路标重置为右边的路标，即当前的元素
        pre = curr;
    }
    // 别忘记还有一个最后的终点，这个终点是不包含在数组当中的
    // 要单独去进行判断,因为可能在终点到前一个路标之间加>1的路标，故用循环判断增加多少个
    if ( length - pre > num ){
        // 需要添加的路标数目为 (d - 1) / num
        sum += (length - pre - 1) / num;
        if ( sum > max_cnt ) return false;
    } 
    return sum <= max_cnt;
}
int main( void ){
    cin >> length >> cnt >> max_cnt;
    arr.resize( cnt ); // 设置vector元素数量
    for (auto i = arr.begin(); i < arr.end(); i ++){
        cin >> *i;
    }
    int left = 1; // 搜索下限
    int right = length; // 搜索上限
    int mid; // 中间值 Or 待定的路标最大距离
    int ans = length; // 结果
    while( left <= right ){
        mid = (left + right) / 2;
        // 如果路标数量小于等于设限路标数量，则表示空旷指数还可以减少，也就是让路标尽可能变多。求的是最小的空旷指数，能少就少
        // 如果路标数量大于设限路标数量，则表示空旷指数必须增多，这样路标才能减少。
        if (check( mid )){
            ans = mid;
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}