微积分下公式总结

本来一直是放在U盘里的，结果重新装了一次Typora之后原来的latex都炸了qwq
所以就先扔到优快云上

第八章

矢量积 a$\times$b

1. 定义1：$\omega$ 为某角速度，其方向遵守右手定则；以圆周为底面的任意母线设为 $\overrightarrow{OM}$，则 $\vec{v}$ 是表示 $\vec{\omega }$ 的线速度。|$\vec{v}$| =|$\omega$| |$\overrightarrow{OM}$| sin$\theta$ ，|$\overrightarrow{OM}$| sin$\theta$ 是圆周半径

   定义2：|c| = |a| |b| sin<a,b> ，c 垂直于 a, b 形成的平面

2. 性质： $a\times b=-b\times a$

   ​ $\lambda (a\times b)=(\lambda a)\times b=a\times (\lambda b)$

   ​ $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

   ​ $a\times b=0$ 等价于 a, b 共线

   ​ $|a\times b|=S$ （构成的平行四边形的面积）

3. 坐标表示：
   $$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

4. 混合积：$[abc]=a\cdot (b\times c)=|b\times c||a|cos<a,b\times c>$，体现的是以 a, b, c 为三边的平行六面体的体积
   $$[abc]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$$
   轮换性：$[abc]=[bca]=[cab]$

   反对称性：$[abc]=-[bac]=-[cba]=-[acb]$

   平面与直线

   1. 平面的方程：
      1. 点与法向量表示：任一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，满足$\overrightarrow{M{M}_0}\cdot \vec{n}=0，即A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
      2. 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，A,B,C不同时为0
      3. 截距式：当平面与轴交于$PRQ$三点，截距为$abc$，$x/a+y/b+z/c=1$
   2. 直线方程：
      1. 一般式：看做平面1,2的交线，$A_{i}x+B_{i}y+C_{i}z+D_i=0$
      2. 点向式：点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量$s=l,m,n$，方程$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$若分母为0，则分子为0
      3. 参数方程：$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}=t$
   3. 距离问题：

​ 3.平面夹角看法线

​ 4.直线与平面夹角+与法线的夹角=$\frac{\pi }{2}$

​ 5.直线与平面的交点

​ 6.两线共面：
$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\right|=0$$

4. 平面束：指通过两平面交线的所有平面。设平面a, b，平面束可表述为$\lambda a+\mu b=0,\lambda 和\mu 不同时为0$

曲面

*主要关注已知点集求方程、已知方程判断形状

1. 球面：
   $$\begin{gathered} (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2 \\ {x}^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0 \\ 经配方，(x+\frac{A}{2}{)}^2+(y+\frac{B}{2}{)}^2+(z+\frac{C}{2}{)}^2=\frac{1}{4}(A^2+B^2+C^2)-D \end{gathered}$$

2. 柱面：母线平行于某一轴时方程同平面方程

3. 旋转曲面：假设 y z 平面内的曲线绕 z 轴旋转，形成图像满足$z=z_0,x^2+y^2=y_0^2$

4. 矢量方程：
   $$\begin{gathered} \vec{r}(u,v)=x(u,v)\vec{i}+y(u,v)\vec{j}+z(u,v)\vec{k} \\ 如圆锥面：z=\sqrt{x^2+y^2} \\ \vec{r}(r,\theta )=(rcos\theta )\vec{i}+(rsin\theta )\vec{j}+r\vec{k} \end{gathered}$$

曲线

1. 曲线可以看做两曲面的交

2. 曲线的投影：若对$xoy$面投影，设
   KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 58: …\\ \end{cases}，&̲消掉z，得G(x,y)=0

3. 二次曲面：平面截痕法：

   1. 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，截面方程：$z=h,\frac{x^2}{a^2(1-c^{-2}{h}^2)}+\frac{y^2}{b^2(1-c^{-2}{h}^2)}=1$

   2. 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

      平行于$xoy$的截面为椭圆：$z=h,\frac{x^2}{a^2(1+c^{-2}{h}^2)}+\frac{y^2}{b^2(1+c^{-2}{h}^2)}=1$

      平行于$xoz$的截面为双曲线：$y=h,\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{h^2}{b^2}$

      参数方程：$x=a\times cosh(u) cos(v) $ $ y = a\times cosh(u) sin(v) $ $ z = b * sinh(u) $

   3. 双叶双曲面：$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

      平行于$xoy$的截面为椭圆：$z=h,\frac{x^2}{a^2(-1+c^{-2}{h}^2)}+\frac{y^2}{b^2(-1+c^{-2}{h}^2)}=1$

      平行于$xoz(yoz同)$的截面为双曲线：$y=h,\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{h^2}{b^2}$

      参数方程：$x=a\times cosh(u)cos(v) $ $y=b*\times cosh(u)*sin(v) $ $ z=c\times sinh(u)$38605)

   4. 椭圆抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

   5. 双曲抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

   6. 椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$ a=b使就是圆锥面

第九章

多元函数偏导数与全微分

1. 偏导数存在是可微的必要条件，偏导数存在且连续则保证可微
2. 全微分公式：$dz=z_{x}dx+z_{y}dy$
3. 全微分符合：
   1. 线性规则
   2. 积规则$leibniz$：$d(uv)=vdu+udv$
   3. 商规则：$d(u/v)=(vdu-udv)/v^2$
4. 二元函数可微的几何意义是曲面的切平面

复合函数微分

1. 在可微的条件下，$z=f(u(x),v(x))$，且$\frac{dz}{dx}=f_u\frac{du}{dx}+f_v\frac{dv}{dx}$，Z 则是对 x 的全导数

2. 推广：$z=f(u(x,y),v(x,y))\to z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x,z_y=f_u{u}_y+f_v{v}_y$

3. 例子：在可微的条件下，$z=f(x,\varphi (x),\Psi (x)),求全导数\frac{dz}{dx}$

   $u_1=x,u_2=\varphi (x),u_3=\Psi (x),记f_i^{\prime }为\frac{\partial f}{\partial u_i},则\frac{dz}{dx}=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }{\varphi }^{\prime }(x)+f_3^{\prime }{\Psi }^{\prime }(x)$

方向导数与梯度

1. 在一曲面上取点$P_0$，$\vec{n}=[cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma ]$，在该方向上$\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{n}}=f_x(P_0)cos\alpha +f_y(P_0)cos\beta +f_z(P_0)cos\gamma$，其中三角函数值就是单位化的方形向量

2. 令$g=[f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0)]$（记作 $gradf(P_0)$），则上式可化简为$\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{n}}=|g|cos\theta$，其中 $\theta$ 是 g 与 n 的夹角。

3. 梯度的意义：记 L 为函数等值线束，grad 是等值线在 $P_0$ 处法向量，方向是从数值低到数值高

4. 函数极值

   1. 自由极值：必要条件是所有偏导数为0（驻点）；充分条件是：设 $P_0$ 是 f 在 D 内的驻点，记 $a=f_{xx(P_0)},b=f_{xy(P_0)},c=f_{yy(P_0)},\Delta =ac-b^2,若\Delta >0，a(c)>0则为极小值点；若\Delta >0，a(c)<0则为极大值点；若\Delta <0则不是极值点$

   2. 条件极值：$minf(x,y);g(x,y)=0,(x,y)\in D$

      1. 约束条件 $g(x,y)$ 化为参数式或者 $y=Y(x)$ ，把问题转化为自由极值

      2. 当 $g(x,y)$ 为隐函数，假设确定出 $y=y(x)$，即 $\phi =f(x,y(x))，驻点\frac{d\phi }{dx}{|}_{x=x_0}=f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$

         转化为 $\frac{f_x(x_0,y_0)}{g_x(x_0,y_0)}=\frac{f_y(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}=-\lambda$，构造辅助函数 $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)$，得到方程：
         $$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x(x,y)+\lambda g_x(x,y)=0\\ L_y=f_y(x,y)+\lambda g_y(x,y)=0\\ L_{\lambda }=g(x,y)=0\end{array}$$
         此即拉格朗日乘数法

Taylor 公式

设 $x=x_0+hy=y_0+kp=\sqrt{h^2+k^2}$，则 $f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k$

$$\begin{gathered} \to f(x,y)=T_n(x,y)+R_n(x,y) \\ {T}_n(x,y)=f(x_0,y_0)+{\sum }_{m=1}^n\frac{1}{m!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{m}f(x_0,y_0) \\ {R}_n(x,y)=\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)(0<\theta <1) \end{gathered}$$

其中 $(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{m}f(a,b)={\sum }_{i=0}^m{C}_m^i{h}^{m-i}{k}^i\frac{{\partial }^{m}f(a,b)}{\partial x^{m-i}\partial y^i}$，当 $p\to 0时，有R_n(x,y)=o(p^n)$

二阶泰勒公式：$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+\frac{1}{2}{f}_{x}x(x_0,y_0)h^2+f_{x}y(x_0,y_0)hk+f_{y}y(x_0,y_0)k^2+o(p^2)$

重积分

$\iint_df(x,y)ds=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} $$f(P_i )\Delta s_i $，在直角坐标系内，$ds=dxdy$

性质

1. 积分中值定理：${\iint }_{D}f\mathrm{d}\sigma =f(P)\sigma$
2. 绝对值不等式：$|{\iint }_{D}f\mathrm{d}\sigma |\le {\iint }_D|f|\mathrm{d}\sigma$

（经变换）化为累次积分

1. ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{dxdy}={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$ 当D为x型区域如上图

${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{dxdy}={\int }_c^{d}dx{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$ 当D为y型区域

否则先对区域进行划分，使其满足条件

2. 若 $f(x),g(y)$ 分别在 [a,b], [c,d] 上连续，${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{dxdy}={\int }_a^{b}f(x)dx{\int }_c^{d}g(y)dy$

3. 极坐标代换：$x=rcos\theta y=rsin\theta$ , ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr$$D:r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta )$

4. 复合积分的一般变量代换：

   1. 有 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(u))x^{\prime }(u)du$ 其中 $x(u)$ 把 $[\alpha ,\beta ]$一一对应到 $[a,b]$，并且上下限对应，把区间 $[\alpha ,\beta ]$ 类比成区域 G，把G一一对应地变换到 $xy$ 平面上的 D 区域，即对任意一点都有 $x=x(u,v),y=y(u,v)$

   2. 取 G 上一矩形区域，其顶点：$(u,v),(u+du,v)$ 等，变换后得：$$\begin{gathered} x(u+du,v)=x(u,v)=x_{u}du+o(du), \\ y(u+du,v)=y(u,v)+y_{u}du+o(du) \end{gathered}$$

   3. $d\sigma =|x_{u}du,y_{u}du,0\times x_{v}dv,y_{v}dv,0|=|x_u{y}_v-x_v{y}_u|dudv$

   4. $|x_u{y}_v-x_v{y}_u|$ 与 $x^{\prime }(u)$ 相当，是面积的局部放大系数，记为雅可比行列式
      $$J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$$

   5. 变量代换公式：$x=x(u,v),y=y(u,v)$ 若有连续偏导数、$J\ne 0$ 则：${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{G}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$

   6. 若以极坐标代替 u,v 则有：
      $$J=\left|\begin{array}{cc}{x}_r& x_{\theta }\\ y_r& r_{\theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{array}\right|=r,即d\sigma =rdrd\theta$$