数论入门之欧拉函数

欧拉函数

欧拉函数的定义

$1\cdots n$ 中与 $n$ 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\phi (n)$
当我们把 $N$ 看作 $N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times p_4^{c_4}\times \cdots \times p_m^{c_m}$ 的形式
我们发现对于 $N$ 的一个因数 $p$，与 $N$ 不互质的数为 $p,2p,3p,\cdots ,kp$，也就是有 $k$ 个数不与 $N$ 互质，很显然 $k=\frac{N}{p}$，当我们再加入 $N$ 的一个因子 $q$，在 $N$ 的范围内与 $N$ 的两个因子都互质的数的个数即为
$$N=N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}=N\times (1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}-\frac{1}{pq})=N\times (1-\frac{1}{p})\times (1-\frac{1}{q})$$
当 $N$ 的因子数为 $p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_m$ 时，
$$\phi (N)=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times (1-\frac{1}{p_3})\times \cdots \times (1-\frac{1}{p_m})=N\times \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$$
感性的理解其实就是在 $1\cdots N$ 中，不存在因子 $p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_m$ 的数即为与 $N$ 互质

欧拉函数的性质

性质1：$\boxed{特定\phi (1)=1}$

性质2：$\boxed{n为质数时，\phi (n)=n-1}$
证明：
当 $n$ 为质数时，有且仅有 $1$ 不符合要求所以 $\phi (n)=n-1$
性质3：$\boxed{n为质数时，\phi (n^k)=(n-1)\times n^{k-1}}$

证明：
$$\begin{gathered} \because n为质数 \\ \therefore \forall i\ne n\&1,n^k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i\ne 0 \\ \therefore \phi (n^k)=n^k\times (1-\frac{1}{n})=n^k-n^{k-1}=(n-1)\times n^{k-1} \end{gathered}$$

性质4：$\boxed{当gcd(n,m)=1时，\phi (n)\times \phi (m)=\phi (nm)}$
证明：
$$\begin{gathered} 定义n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times p_4^{c_4}\times \cdots \times p_x^{c_x},m=q_1^{b_1}\times q_2^{b_2}\times q_3^{b_3}\times q_4^{b_4}\times \cdots \times q_y^{b_y} \\ \because gcd(n,m)=1 \\ \therefore \phi (n)\times \phi (m)=nm\prod _{i=1}^x(1-\frac{1}{p_i})\prod _{j=1}^y(1-\frac{1}{q_i})=\phi (n\times m) \end{gathered}$$
性质5：
$\boxed{对于质数p，当p\mid n时，\phi (np)=\phi (n)\times p，当p\nmid n时，\phi (np)=\phi (n)\times (p-1)}$
证明：
当 $p\mid n$ 时
$$\begin{gathered} 定义n=q_1^{b_1}\times q_2^{b_2}\times q_3^{b_3}\times q_4^{b_4}\times \cdots \times q_y^{b_y}(q_1=p) \\ \because n\times p=q_1^{b_1+1}\times q_2^{b_2}\times q_3^{b_3}\times q_4^{b_4}\times \cdots \times q_y^{b_y} \\ \therefore \phi (np)=np\prod _{i=1}^y(1-\frac{1}{q_i})=\phi (n)\times p \end{gathered}$$
当 $p\nmid n$ 时
$$\begin{gathered} \because gcd(n,p)=1引入性质4 \\ \therefore \phi (np)=\phi (n)\times \phi (p)=(p-1)\phi (n) \end{gathered}$$
性质6：
$\boxed{当n为奇数时，\phi (n)=\phi (2n)}$
证明：
$定义n=q_1^{b_1}\times q_2^{b_2}\times q_3^{b_3}\times q_4^{b_4}\times \cdots \times q_y^{b_y}$
则 $2n=2\times q_1^{b_1}\times q_2^{b_2}\times q_3^{b_3}\times q_4^{b_4}\times \cdots \times q_y^{b_y}$
$\phi (2n)=\frac{1}{2}2n\prod _{i=1}^y(1-\frac{1}{q_i})=\phi (n)$
性质7：
$\boxed{与小于等于n中，与n互质的数之和为:n\cdot \phi (n)÷2}$
证明：
$$\begin{gathered} \because \forall gcd(n,m)=1\exists gcd(n,n-m)=1 \\ \therefore 与小于等于n中，与n互质的数之和=(n+n-m)\phi (n)÷2=n\cdot \phi (n)÷2 \end{gathered}$$
性质8：
$\boxed{n=\sum _{d\mid n}\phi (d)}$
可以理解为 $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\cdots ,\frac{n}{n}$，$n$ 个分数，把特们化简后的个数即为 ${\sum }_{d\mid n}\phi (d)$