strassen算法 DeepMind的AlphaZero最快矩阵乘法的前身
矩阵乘法是线性代数中最基础也是最重要的操作之一，广泛应用于科学计算、工程、计算机图形学、机器学习等领域。随着数据规模的不断扩大，如何高效地进行矩阵乘法成为研究的热点。本文将介绍传统的矩阵乘法方法以及一种经典的优化算法——Strassen算法，并探讨它们在4×4矩阵乘法中的应用。
目录
引言
矩阵乘法是计算机科学和工程中的基础操作，广泛应用于图形处理、科学计算、机器学习等领域。传统的矩阵乘法方法实现简单，但随着矩阵规模的增大，计算效率成为亟待解决的问题。Strassen算法作为一种优化方法，通过减少乘法次数提升了计算效率。本节将详细介绍传统矩阵乘法与Strassen算法的理论基础，并探讨它们在4×4矩阵乘法中的应用。
矩阵乘法基础
什么是矩阵乘法？
矩阵乘法是一种二元运算，涉及两个矩阵的相乘。假设有两个矩阵：
- 矩阵A，大小为 m × n m×n m×n
- 矩阵B，大小为 n × p n×p n×p
它们的乘积矩阵C将是一个m×p的矩阵。具体计算方法为：
C i , j = ∑ k = 1 n A i , k × B k , j C_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} A_{i,k} \times B_{k,j} Ci,j=k=1∑nAi,k×Bk,j
举例说明
假设：
A
=
[
1
2
3
4
]
,
B
=
[
5
6
7
8
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
A=[1324],B=[5768]
则：
C = A B = [ ( 1 × 5 + 2 × 7 ) ( 1 × 6 + 2 × 8 ) ( 3 × 5 + 4 × 7 ) ( 3 × 6 + 4 × 8 ) ] = [ 19 22 43 50 ] C = AB = \begin{bmatrix} (1 \times 5 + 2 \times 7) & (1 \times 6 + 2 \times 8) \\ (3 \times 5 + 4 \times 7) & (3 \times 6 + 4 \times 8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} C=AB=[(1×5+2×7)(3×5+4×7)(1×6+2×8)(3×6+4×8)]=[19432250]
传统矩阵乘法
传统的矩阵乘法直接按照上述定义进行计算，通常使用三个嵌套的for循环。这种方法的时间复杂度为O(n³)，其中n是矩阵的维度（假设矩阵为方阵n×n）。尽管实现简单，但对于大规模矩阵运算，效率较低。
时间复杂度分析
假设矩阵A和矩阵B都是n×n的方阵：
- 外层循环（i）：执行n次
- 中间循环（j）：每次外层循环执行n次
- 内层循环（k）：每次中间循环执行n次
因此，总的运算次数为n × n × n = n³。
优点与缺点
-
优点：
- 实现简单，易于理解和调试。
- 适用于任何尺寸的矩阵，无需特殊条件。
-
缺点：
- 时间复杂度高，对于大规模矩阵运算效率低下。
- 缺乏利用矩阵内部结构或计算资源优化的能力。
Strassen算法简介
算法背景
1969年，德国数学家Volker Strassen提出了一种突破性的方法，用于减少矩阵乘法的运算次数。这一算法不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中展现了显著的性能提升。
Strassen算法的核心思想
Strassen算法通过减少乘法次数来优化矩阵乘法运算。具体来说，Strassen算法将每个n×n矩阵分解为四个(n/2)×(n/2)的子矩阵，从而将一个n×n矩阵乘法转化为七个(n/2)×(n/2)的子矩阵乘法和若干次矩阵加法与减法。
时间复杂度分析
Strassen算法的时间复杂度分析基于递归关系。假设T(n)表示乘法两个n×n矩阵所需的时间，则：
T
(
n
)
=
7
T
(
n
2
)
+
O
(
n
2
)
T(n) = 7T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n^2)
T(n)=7T(2n)+O(n2)
应用主定理（Master Theorem）分析该递归关系，得到：
T
(
n
)
=
O
(
n
log
2
7
)
≈
O
(
n
2.81
)
T(n) = O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})
T(n)=O(nlog27)≈O(n2.81)
这表明Strassen算法的时间复杂度约为O(n².81)，优于传统的O(n³)复杂度。
优点与缺点
-
优点：
- 减少了乘法次数，提高了理论计算效率。
- 适用于较大的矩阵乘法运算，尤其是在数据规模较大时表现出更好的性能。
-
缺点：
- 实现较为复杂，需要处理矩阵分割和递归调用。
- 在小规模矩阵中，递归开销可能导致性能不如传统方法。
- 数值稳定性可能较差，尤其在处理浮点数矩阵时需要注意。
4×4矩阵乘法中的分块矩阵方法
分块矩阵的概念
分块矩阵是一种将大矩阵划分为更小子矩阵的方法。对于4×4的矩阵，我们可以将其分成四个2×2的子矩阵，如下所示：
A
=
[
A
11
A
12
A
21
A
22
]
,
B
=
[
B
11
B
12
B
21
B
22
]
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}
A=[A11A21A12A22],B=[B11B21B12B22]
其中，每个子矩阵都是2×2的矩阵。
分块矩阵乘法的步骤
对于分块后的矩阵A和矩阵B，它们的乘积矩阵C可以表示为：
C
=
A
B
=
[
C
11
C
12
C
21
C
22
]
C = AB = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}
C=AB=[C11C21C12C22]
其中，
C
11
=
A
11
B
11
+
A
12
B
21
C
12
=
A
11
B
12
+
A
12
B
22
C
21
=
A
21
B
11
+
A
22
B
21
C
22
=
A
21
B
12
+
A
22
B
22
\begin{align*} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{align*}
C11C12C21C22=A11B11+A12B21=A11B12+A12B22=A21B11+A22B21=A21B12+A22B22
这种方法将大矩阵乘法转化为多个小矩阵乘法和加法，有助于提升计算效率和优化内存使用。
优点与缺点
-
优点：
- 利用分治策略，简化大规模矩阵乘法问题。
- 有助于提高缓存命中率，优化内存访问模式。
-
缺点：
- 增加了矩阵分割和子矩阵管理的复杂性。
- 需要额外的内存空间来存储子矩阵和中间结果。
Strassen算法在4×4矩阵乘法中的应用
Strassen算法的分块与优化
在应用Strassen算法于4×4矩阵乘法时，我们将矩阵A和矩阵B分别分块为四个2×2的子矩阵。然后，通过计算七个中间乘积矩阵M1到M7，组合成结果矩阵C的四个子矩阵C11、C12、C21和C22。
具体步骤
对于4×4矩阵A和B：
-
分块：
将矩阵A和B分成四个2×2的子矩阵：
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] , B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} A=[A11A21A12A22],B=[B11B21B12B22] -
计算七个M矩阵：
使用Strassen算法计算M1到M7。每个M矩阵是通过对子矩阵进行加法、减法和递归乘法计算得到。
M 1 = ( A 11 + A 22 ) × ( B 11 + B 22 ) M 2 = ( A 21 + A 22 ) × B 11 M 3 = A 11 × ( B 12 − B 22 ) M 4 = A 22 × ( B 21 − B 11 ) M 5 = ( A 11 + A 12 ) × B 22 M 6 = ( A 21 − A 11 ) × ( B 11 + B 12 ) M 7 = ( A 12 − A 22 ) × ( B 21 + B 22 ) \begin{aligned} M_1 &= (A_{11} + A_{22}) \times (B_{11} + B_{22}) \\ M_2 &= (A_{21} + A_{22}) \times B_{11} \\ M_3 &= A_{11} \times (B_{12} - B_{22}) \\ M_4 &= A_{22} \times (B_{21} - B_{11}) \\ M_5 &= (A_{11} + A_{12}) \times B_{22} \\ M_6 &= (A_{21} - A_{11}) \times (B_{11} + B_{12}) \\ M_7 &= (A_{12} - A_{22}) \times (B_{21} + B_{22}) \end{aligned} M1M2M3M4M5M6M7=(A11+A22)×(B11+B22)=(A21+A22)×B11=A11×(B12−B22)=A22×(B21−B11)=(A11+A12)×B22=(A21−A11)×(B11+B12)=(A12−A22)×(B21+B22) -
组合结果：
根据Strassen算法的公式组合结果矩阵C：
C 11 = M 1 + M 4 − M 5 + M 7 C 12 = M 3 + M 5 C 21 = M 2 + M 4 C 22 = M 1 − M 2 + M 3 + M 6 \begin{align*} C_{11} &= M1 + M4 - M5 + M7 \\ C_{12} &= M3 + M5 \\ C_{21} &= M2 + M4 \\ C_{22} &= M1 - M2 + M3 + M6 \end{align*} C11C12C21C22=M1+M4−M5+M7=M3+M5=M2+M4=M1−M2+M3+M6
C = [ C 11 C 12 C 21 C 22 ] C=\begin{bmatrix} C_{11} &C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} C=[C11C21C12C22]
理论比较与分析
-
传统矩阵乘法：
- 简单直观，适用于任何尺寸的矩阵。
- 时间复杂度为O(n³)，对于大规模矩阵运算效率较低。
-
Strassen算法：
- 减少了乘法次数，时间复杂度为O(n².81)。
- 对大矩阵乘法更有效，但需要额外的内存和复杂的递归结构。
在4×4矩阵的应用中，Strassen算法的优势可能并不明显，因为矩阵规模较小，传统算法的开销较小。但随着矩阵规模的增大，Strassen算法的优势会逐渐显现出来。
总结
矩阵乘法是计算中常见的操作，优化它的算法对提高计算效率具有重要意义。传统矩阵乘法实现简单，但效率较低；而Strassen算法通过减少乘法次数，能显著提升计算速度，特别是在处理大规模矩阵时。然而，Strassen算法也有其局限性，尤其是在小规模矩阵和数值稳定性方面。对于大规模数据集，Strassen算法无疑是一种更高效的选择。
代码
Python代码
首先我们定义传统矩阵乘法和Strassen算法的实现，并用它们对4×4矩阵进行测试。
1. 传统矩阵乘法
import numpy as np
import time
# 传统矩阵乘法
def traditional_matrix_multiply(A, B):
n = A.shape[0]
C = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
for j in range(n):
for k in range(n):
C[i, j] += A[i, k] * B[k, j]
return C
# 生成随机的4x4矩阵
A = np.random.randint(1, 10, (4, 4))
B = np.random.randint(1, 10, (4, 4))
# 测试传统矩阵乘法
start_time = time.time()
C_traditional = traditional_matrix_multiply(A, B)
end_time = time.time()
print("Traditional Matrix Multiply Result:")
print(C_traditional)
print(f"Traditional Time: {end_time - start_time:.6f} seconds")
Strassen算法
# Strassen算法
def strassen_matrix_multiply(A, B):
n = A.shape[0]
if n == 1:
return A * B
else:
mid = n // 2
# 分割A和B
A11, A12 = A[:mid, :mid], A[:mid, mid:]
A21, A22 = A[mid:, :mid], A[mid:, mid:]
B11, B12 = B[:mid, :mid], B[:mid, mid:]
B21, B22 = B[mid:, :mid], B[mid:, mid:]
# 计算M1到M7
M1 = strassen_matrix_multiply(A11 + A22, B11 + B22)
M2 = strassen_matrix_multiply(A21 + A22, B11)
M3 = strassen_matrix_multiply(A11, B12 - B22)
M4 = strassen_matrix_multiply(A22, B21 - B11)
M5 = strassen_matrix_multiply(A11 + A12, B22)
M6 = strassen_matrix_multiply(A21 - A11, B11 + B12)
M7 = strassen_matrix_multiply(A12 - A22, B21 + B22)
# 组合结果矩阵C
C11 = M1 + M4 - M5 + M7
C12 = M3 + M5
C21 = M2 + M4
C22 = M1 - M2 + M3 + M6
# 组合成最终结果
C = np.zeros((n, n))
C[:mid, :mid] = C11
C[:mid, mid:] = C12
C[mid:, :mid] = C21
C[mid:, mid:] = C22
return C
# 测试Strassen算法
start_time = time.time()
C_strassen = strassen_matrix_multiply(A, B)
end_time = time.time()
print("Strassen Matrix Multiply Result:")
print(C_strassen)
print(f"Strassen Time: {end_time - start_time:.6f} seconds")
MATLAB
传统矩阵乘法
% 传统矩阵乘法
function C = traditional_matrix_multiply(A, B)
[n, m] = size(A);
[m, p] = size(B);
C = zeros(n, p);
for i = 1:n
for j = 1:p
for k = 1:m
C(i, j) = C(i, j) + A(i, k) * B(k, j);
end
end
end
end
% 生成随机的4x4矩阵
A = randi([1, 10], 4, 4);
B = randi([1, 10], 4, 4);
% 测试传统矩阵乘法
tic;
C_traditional = traditional_matrix_multiply(A, B);
toc;
disp('Traditional Matrix Multiply Result:');
disp(C_traditional);
Strassen算法
% Strassen算法
function C = strassen_matrix_multiply(A, B)
n = size(A, 1);
if n == 1
C = A * B;
else
mid = n / 2;
% 分割A和B
A11 = A(1:mid, 1:mid);
A12 = A(1:mid, mid+1:end);
A21 = A(mid+1:end, 1:mid);
A22 = A(mid+1:end, mid+1:end);
B11 = B(1:mid, 1:mid);
B12 = B(1:mid, mid+1:end);
B21 = B(mid+1:end, 1:mid);
B22 = B(mid+1:end, mid+1:end);
% 计算M1到M7
M1 = strassen_matrix_multiply(A11 + A22, B11 + B22);
M2 = strassen_matrix_multiply(A21 + A22, B11);
M3 = strassen_matrix_multiply(A11, B12 - B22);
M4 = strassen_matrix_multiply(A22, B21 - B11);
M5 = strassen_matrix_multiply(A11 + A12, B22);
M6 = strassen_matrix_multiply(A21 - A11, B11 + B12);
M7 = strassen_matrix_multiply(A12 - A22, B21 + B22);
% 组合结果矩阵C
C11 = M1 + M4 - M5 + M7;
C12 = M3 + M5;
C21 = M2 + M4;
C22 = M1 - M2 + M3 + M6;
% 组合成最终结果
C = zeros(n);
C(1:mid, 1:mid) = C11;
C(1:mid, mid+1:end) = C12;
C(mid+1:end, 1:mid) = C21;
C(mid+1:end, mid+1:end) = C22;
end
end
% 生成随机的4x4矩阵
A = randi([1, 10], 4, 4);
B = randi([1, 10], 4, 4);
% 测试Strassen算法
tic;
C_strassen = strassen_matrix_multiply(A, B);
toc;
disp('Strassen Matrix Multiply Result:');
disp(C_strassen);
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