树上操作-树上剖分

题目描述
有一棵点数为 的树，以点 为根，且树有点权。然后有 个操作，分为三种：

把某个节点 的点权增加 。
把某个节点 为根的子树中所有点的点权都增加 。
询问某个节点 到根的路径中所有点的点权和。
输入格式
第一行包含两个整数 。表示点数和操作数。
接下来一行 个整数，表示树中节点的初始权值。
接下来 行每行两个正整数 ， 表示该树中存在一条边 。
再接下来 行，每行分别表示一次操作。其中第一个数表示该操作的种类（1-3） ，之后接这个操作的参数（x 或者 x a） 。

输出格式
对于每个询问操作，输出该询问的答案。答案之间用换行隔开。

样例
输入
5 5
1 2 3 4 5
1 2
1 4
2 3
2 5
3 3
1 2 1
3 5
2 1 2
3 3
输出
6
9
13
思路：一般我们看到这种维护序列的题肯定会想到线段树，但是线段树是用来维护某一个区间的，但这个题是要维护某一个点或者某一段路径所以肯定不能直接用线段树来做，我们要想办法把修改某一条路径变为修改一段连续的区间，那么我们首先先了解几个基本知识点。

重儿子：节点数多的，如果一样多随意
轻儿子：除重儿子外
重边：重儿子和父节点之间的边
重链：由尽可能多的重边组成的链
图中用红色加深的节点就是重儿子，用红色加深的边就是重边，用绿色圈起来的就是重链，然后我们还需要知道每个节点存在于那一条重链里边，如果是重儿子那么它就在他父节点所在的重链，如果是轻儿子它在以它为开头向下的重链里，我们既然想要把修改路径变为修改几段连续的区间那么我们就需要给它重新定义一个dfs序，dfs时我们优先遍历重儿子，这样的好处我们从图中也可以看出，得到的重链中的节点是连续的，修改单个节点比较简单直接修改就可以，如果要修改一个子树的话我们直接修改[id[u,id[u]+sz[u]-1]就可以了，id数组是它的dfs序，sz数组是当前节点有多少个子节点，我们主要来看看修改一条路径是怎样修改的

这个过类似于求最近公共祖先，我们每次要找到较低的一个点然后将它所在重链的头到这个点之间的所有节点进行修改，一直这样交替进行，这样最后它们一定会到达同一条重链绿色圈着的就是最后一段要修改的，这样修改路径就变为了修改若干条重链就相当于修改若干段连续区间，就可以直接采用线段树维护了
代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll head[N],cnt=-1,num,de[N],fa[N],nw[N],id[N],son[N],sz[N],top[N],w[N];
struct node
{
	ll l,r,lz;
	ll data;
}tr[N];
struct x
{
	ll next,to;
}p[N*4];
void add(ll from,ll to)
{
	p[++cnt].to=to;
	p[cnt].next=head[from];
	head[from]=cnt;
}
void push_up(node &u,node &l,node &r)
{
	u.data=l.data+r.data;	
}
void push_up(ll u)
{
	push_up(tr[u],tr[u*2],tr[u*2+1]);
}
void build(ll u,ll l,ll r)
{
	tr[u].l=l;
	tr[u].r=r;
	tr[u].lz=0;
	if(l==r)
	{
		tr[u].data=nw[l];
	}
	else
	{
		ll mid=(l+r)/2;
		build(2*u,l,mid);
		build(2*u+1,mid+1,r);
		push_up(u);
	}
}
void push_down(ll u)
{
	if(tr[u].lz)
	{
		tr[2*u].lz+=tr[u].lz;
		tr[2*u+1].lz+=tr[u].lz;
		tr[2*u].data+=(tr[2*u].r-tr[2*u].l+1)*tr[u].lz;
		tr[2*u+1].data+=(tr[2*u+1].r-tr[2*u+1].l+1)*tr[u].lz;
		tr[u].lz=0;
	}
}
void update(ll u,ll L,ll R,ll val)
{
	if(tr[u].l>=L&&tr[u].r<=R)
	{
		tr[u].lz+=val;
		tr[u].data+=(tr[u].r-tr[u].l+1)*val;
	}
	else
	{
		
		push_down(u);
		ll mid=(tr[u].l+tr[u].r)/2;
		if(L<=mid) update(2*u,L,R,val);
		if(R>mid) update(2*u+1,L,R,val);
		push_up(u);
	}
}
node query(ll u,ll L,ll R)
{
	if(tr[u].l>=L&&tr[u].r<=R) return tr[u];
	else
	{
		push_down(u);
		ll mid=(tr[u].l+tr[u].r)/2;
		if(R<=mid) return query(2*u,L,R);
		else if(L>mid) return query(2*u+1,L,R);
		else
		{
			node res,l,r;
			l=query(2*u,L,R);
			r=query(2*u+1,L,R);
			push_up(res,l,r);
			return res;
		}
	}
}
//上面这几个函数就是普通线段树就不多说了
void update_u(ll u,ll val)//修改一个节点直接修改就可以
{
	update(1,id[u],id[u],val);
}
void update_tr(ll u,ll val)//修改一个子树
{
	update(1,id[u],id[u]+sz[u]-1,val);
}
ll query_tr_x(ll u,ll v)
{
	ll ans=0;
	//printf("<<\n");
	while(top[u]!=top[v])//保证u,v不在同一条重链
	{
		if(de[top[u]]<de[top[v]]) swap(u,v);//我们默认u更深
		node pp=query(1,id[top[u]],id[u]);//修改当前重链每一个节点
		ans+=pp.data;
		u=fa[top[u]];//修改完之后要到达下一条重链
	}
	if(de[u]<de[v]) swap(u,v);//修改最后一段
	node pp=query(1,id[v],id[u]);
	ans+=pp.data;
	return ans;
}
void dfs1(ll now,ll father)
{
	de[now]=de[father]+1;//记录深度
	sz[now]=1;//记录子节点个数
	for(ll i=head[now];i!=-1;i=p[i].next)
	{
		if(p[i].to==father) continue;
		fa[p[i].to]=now;
		dfs1(p[i].to,now);
		sz[now]+=sz[p[i].to];
		if(sz[son[now]]<sz[p[i].to]) son[now]=p[i].to;//更新重儿子
 	}
}
void dfs2(ll u,ll t)
{
	id[u]=++num,nw[num]=w[u],top[u]=t;//top记录当前节点所在重链的头
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],t);//优先遍历重儿子，重儿子和父节点在同一条重链所以t是一样的
	for(ll i=head[u];i!=-1;i=p[i].next)//遍历轻儿子
	{
		if(p[i].to==fa[u]||p[i].to==son[u]) continue;
		dfs2(p[i].to,p[i].to);//轻儿子本身就是它所在重链的开头
	 } 
}
int main()
{
	ll n,m,i,j;
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&w[i]);
	}
	int o=0;
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		ll a,b;
		scanf("%lld %lld",&a,&b);
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);//printf("<<\n");
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		ll a,u,o;
		scanf("%lld",&o);
	//	printf("<<%d\n",o);
		if(o==1)
		{
			scanf("%lld %lld",&u,&a);
			update_u(u,a);
		}
		if(o==2)
		{
			scanf("%lld %lld",&u,&a);
			update_tr(u,a);
		}
		if(o==3)
		{
			scanf("%lld",&u);
			printf("%lld\n",query_tr_x(1,u));
		}
	}
}