算法复习4：第3章递归与分治策略

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分类专栏：算法文章标签：算法

于 2022-11-24 22:17:52 首次发布

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分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之

直接或间接地调用自身的算法/函数称为递归算法/函数

用递归解决问题时，关键是确定递归体和递归出口

掌握用递归方法解决问题

n!

#include <iostream>
using namespace std;
int fn(int n){
    int sum;
    if(n==0){
        sum=1;
    }else{
        sum=fn(n-1)*n;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<fn(n)<<endl;

}

菲波那契数列

求菲波那契数列 (Fibonacci)数列的前40个数。这个数列有如下特点：第1、2两个数为1、1。从第3个数开始，该数是其前面两个数之和。

#include <iostream>
using namespace std;
int Fi(int n){
   if(n<=2){
        return 1;
   }else{
        return Fi(n-1)+Fi(n-2);
   }
}
int main()
{
    int fn[40];
    for(int i=1;i<=40;i++){
        fn[i]=Fi(i);
        cout<<fn[i]<<endl;
    }
}

猴子摘桃问题

猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，好不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又吃了剩下的桃子的一半，又多吃了一个。以后每天都吃了前一天剩下的一半零一个，到第10 天早上想再吃的时候，就剩下一个桃子。求第一天共摘多少个桃子。

#include <iostream>
using namespace std;
int taozi(int n){
    int sum;
    if(n==10){
        return 1;
    }else{
        sum=(taozi(n+1)+1)*2;
        return sum;
    }

}
int main()
{
   cout<<taozi(1)<<endl;
}

十进制转换为二进制

编写一个递归函数，将10进制转化成radix进制（输出二进制形式）

#include <iostream>
using namespace std;
void change(int a,int radix){
    if(a!=0){
        change(a/radix,radix);
        cout<<a%radix;
    }
}
int main()
{
   int a,radix;
   cin>>a>>radix;
   change(a,radix);
   cout<<endl;
   return 0;
}

逆序（或正序）输出一个正数中的每一位数

逆序输出一个正数中的每一位数例如，对于数12345，依次输出5 4 3 2 1

#include <iostream>
using namespace std;
int nixu(int n){
    if(n!=0){
            cout<<n%10;
            nixu(n/10);
    }else{
        cout<<n;
    }
}
int main()
{
   int n;
   cin>>n;
   nixu(n);
   return 0;
}

正序依次输出一个正数中的每一位数例如，对于数12345，依次输出1 2 3 4 5

#include <iostream>
using namespace std;
int zhengxu(int n){
    if(n!=0){
         zhengxu(n/10);
         cout<<n%10;
    }else{
        cout<<n;
    }
}
int main()
{
   int n;
   cin>>n;
   zhengxu(n);
   return 0;
}

集合的全排列

设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列（n!种）。

样例输入

样例输出

#include<iostream>

using namespace std;
void Perm(int list[], int k, int m){
	if(k==m){
		for(int i=0;i<=m;i++)
			cout<<list[i]<<" ";
		    cout<<endl;
	}
	else	{
        for(int j=k;j<=m;j++){
			swap(list[k],list[j]);
			Perm(list,k+1,m);
			swap(list[k],list[j]);
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int a[5]={1,2,3,4,5};
	Perm(a,0,n-1);
	return 0;
}

递归求平方和函数（openjudge题目）

描述:

用递归函数，求

,n的值由主函数输入。

输入

输入n的值

输出

输出1-n的平方和

样例输入

样例输出

#include <iostream>
using namespace std;
int perm(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }else{
        return n*n+perm(n-1);
    }
}
int main()
{
   int n;
   cin>>n;
   cout<<perm(n)<<endl;
   return 0;
}

分治：

分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同

子问题的解可以合并为该问题的解

掌握用分治法解决：

棋盘覆盖

81-84

找出这n个元素中第k小的元素（掌握线性时间选择法解决此问题）

元素选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素。

分析：

解决方法一：排序时间复杂度O(nlogn)

解决方法二：优先队列时间复杂度O（nlogn）

解决方法三：线性时间选择算法

模仿快速排序算法，

首先对输入数组进行划分，

然后对划分出的子数组之一进行递归处理。

快速排序的基本思想：

首先选第一个数作为分界数据，将比它小的数据存储在它的左边，比它大的数据存储在它的右边，它存储在左、右两个子集之间。这样左、右子集就是原问题分解后的独立子问题。

再用同样的方法，继续解决这些子问题，直到每个子集只有一个数据，就完成了全部数据的排序工作。

94-96

半数集问题

描述

给定一个自然数n，由n 开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n∈set(n)；
(2) 在n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。

输入

输入一个自然数n

输出

半数集中数的个数

样例输入

样例输出