2021湖南多校对抗赛第四场

最新推荐文章于 2024-05-05 02:58:57 发布

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这篇博客探讨了多项式和傅里叶变换在数学竞赛中的应用。文章通过2021湖南多校对抗赛第四场的问题，介绍了如何利用单位根和傅里叶矩阵计算多项式的卷积，以及卷积在多项式乘法和根的关系。讨论了快速傅里叶变换（FFT）的局限性，并提出了一种类似辗转相除法的算法来处理特定的多项式运算。最后，博客提到了多项式卷积的性质及其在数值计算中的重要性。

2021湖南多校对抗赛第四场

排名

第一	第二	第三
中南1队	中南3队	长沙学院一队

团体成绩

学校	总题数	总罚时
中南大学	17	2526

题解

D

设
$\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & \dots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & \dots & a_{n-2}\\ \dots &\dots & \dots & \dots \\ a_{2} & a_{3} & \dots & a_{1} \end{pmatrix}$

设多项式 $a_1 + a_2\cdot x + \dots + a_{n} \cdot x^{n-1}$
设 $w_n^{0}$ , $w_n^1$ , $…\dots$ , $w_n^{n-1}$ 是 $1$ 的 $n$ 次单位根 .
构造矩阵
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\dots & 1 \\ (w_n^{0})^1 & (w_n^{1})^1 & (w_n ^ {2})^1 & \dots & (w_n^{n-1})^1 \\ (w_n^{0})^2 & (w_n^{1})^2 & (w_n ^ {2})^2 & \dots & (w_n^{n-1})^2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ (w_n^{0})^{n-1} & (w_n^{1})^{n-1} & (w_n ^ {2})^{n-1} & \dots & (w_n^{n-1})^{n-1} \\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} f(w_n^0) & f(w_n^1) & f(w_n^2) & \dots & f(w_n^{n-1}) \\ w_n^0f(w_n^0) & w_n^{1}f(w_n^1) & w_n^{2}f(w_n^3) & \dots & w_n^{n-1}f(w_n^{n-1}) \\ (w_n^0)^2f(w_n^0) & (w_n^{1})^2f(w_n^1) & (w_n^{2})^2f(w_n^3) & \dots & (w_n^{n-1})^2f(w_n^{n-1}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ (w_n^0)^{n-1}f(w_n^0) & (w_n^{1})^{n-1}f(w_n^1) & (w_n^{2})^{n-1}f(w_n^3) & \dots & (w_n^{n-1})^{n-1}f(w_n^{n-1}) \\ \end{pmatrix}$
所以 $\prod_{i =0}^{n-1}f(w_n^{i}) det(W)$
$\prod_{i=0}^{n-1}f(w_n^i)$
如果不考虑精度问题 , 我们可以使用 $C Z T$ 来实现任意长度的 $D F T$ .
但是该算法无法通过本题 .

多项式的结式被定义为 :
$μ1\mu_1$ , $μ2\mu_2$ , $…\dots$ , $μn\mu_n$ 是 $n$ 次多项式 $A (x)$ 的 $n$ 个根 .
$λ1\lambda_1$ , $λ2\lambda_2$ , $…\dots$ , $λm\lambda_m$ 是 $m$ 次多项式 $B (x)$ 的 $m$ 个根 .
则 $b_m^n\prod_{i=1}^{n}A(\mu_i) = b_m^na_m^n\prod_{j=1}^{n}\prod_{i=1}^{m}(\mu_i - \lambda_j) = (-1)^{nm}a_n^m\prod_{i=1}^{m}B(\lambda_i)$

我们根据定义可以得出如下性质 :

$R(A,B) = (-1)^{nm}R(B,A)$ .
$R(A,B) = a_n^mb_mn \iff m = 0 $ 或者 $n = 0$ .
若 $b_m = 1$ , 则 $R (A, B) = R (A - C B, B)$ , 其中 $C (x)$ 是一个任意多项式 .
取 $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ , 上式变成 $\dfrac{A}{B}\cdot B,B) = R(A \mod B,B)$ .
我们可以用类似辗转相除法的方法实现这个算法 .