python实现经典的DFS算法-n皇后问题

题目描述：

在 n\times nn×n 的棋盘上放置 nn 个皇后，求所有的放置方法。

放置时要满足：任意两个皇后不能在同一行、同一列，也不能在同一条对角线上。

给定 nn，输出所有合法的放置方案。

输入格式

一个整数 nn。

输出格式

每个解占 nn 行，其中第 ii 行为皇后所在的列编号，按字典序从小到大输出所有的解，每个解之间要用一个空行隔开。

最后一行输出总方案数。

样例输入

4

样例输出

2 4 1 3 3 1 4 2

4 2 1 3 2 4 3 1

解析：

这道题是一个经典的 “八皇后问题”，它的思路是深度优先搜索 + 剪枝。

我们可以从第 11 行开始往下依次考虑放哪个位置的皇后，尝试将其放在 1\sim n1∼n 中的第 ii 列，并判断是否合法。若该位置合法，再考虑填下一行；若不合法则直接跳过这个位置。

在搜索时，我们需要维护三个状态：

• cols[i] 表示第 i 行上哪一列有皇后
• diagonal[i-j+n] 表示右上至左下的斜线上是否有皇后，其中 nn 为棋盘大小， ii 与 jj 是该位置的行列号。
• anti_diagonal[i+j] 表示左上至右下的斜线上是否有皇后，其中 ii 与 jj 是该位置的行列号。

每次循环枚举的是 1\sim n1∼n 中的第 ii 列，如果在同一列（cols[i]）或者对角线上（diagonal[i-j+n] 或 anti_diagonal[i+j]）已经有了皇后，则直接跳过。否则就将当前位置标记为皇后，并更新三个状态的值，然后进入下一层递归搜索。

终止条件是当前搜索到了最后一行，即搜索到第 n+1n+1 行。

最后，我们统计合法解的数量，并输出所有合法方案。

详细python代码：

def solveNQueens(n: int) -> List[List[str]]:
    def dfs(row):
        # 搜索到了第 n + 1 行，记录答案
        if row == n:
            res.append([''.join(s) for s in board])
            return
        
        for col in range(n):
            # 判断当前位置能否放置皇后
            if not cols[col] and not diagonal[row - col + n] and not anti_diagonal[row + col]:
                cols[col] = True
                diagonal[row - col + n] = True
                anti_diagonal[row + col] = True
                board[row][col] = 'Q'
                
                dfs(row + 1)
                
                cols[col] = False
                diagonal[row - col + n] = False
                anti_diagonal[row + col] = False
                board[row][col] = '.'
        
    res = []
    # 初始化棋盘为全空状态
    board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    # 列
    cols = [False] * n
    # 右上至左下的斜线
    diagonal = [False] * (2 * n - 1)
    # 左上至右下的斜线
    anti_diagonal = [False] * (2 * n - 1)
    
    dfs(0)
    
    return res

其中，dfs 函数是核心搜索函数，其参数 row 表示当前正在搜索第几行。在搜索过程中，我们维护了四个状态：棋盘状态 board、列状态 cols、右上至左下的斜线状态 diagonal 和左上至右下的斜线状态 anti_diagonal。在搜索到第 n+1 行时，我们将当前棋盘状态加入到答案中。

主函数初始化了棋盘和四个状态，并从第 0 行开始调用 dfs 函数进行搜索，最终返回答案。

注意：本代码使用了 Python 中的 Type Hints，需要 Python 3.5 及以上版本才能运行。