3.8动态规划--电路布线（详解）

写在前面

定义什么样的变量描述题目？--C[i]表示上接线柱i的下接线柱位置（一一对应关系，导线），一共有n个接线柱，就是n个导线，m就是Size[n][n]的值，表示最大不相交子集元素总数。

dp数组表示什么含义？--Size[i][j]表示上接线柱i和下接线柱j之间的最大不相交子集元素个数

递推方程是如何写出来的？--想想加上这一条导线之后，和哪个状态关联？不要这条导线又是与什么状态关联？要这条导线？不要这条导线的条件是什么？

问题描述

在一块电路板的上、下2端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线(i,π(i))将上端接线柱与下端接线柱相连，如图所示。其中π(i)是{1,2,…,n}的一个排列。导线(i,π(i))称为该电路板上的第i条连线。对于任何1≤i<j≤n，第i条连线和第j条连线相交的充分且必要的条件是π(i)>π(j)。 电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定导线集Nets={(i,π(i)),1≤i≤n}的最大不相交子集。

最优子结构性质

 递归计算最优值

伪代码

构造最优解

 

代码（抄的）

//3d8 动态规划 电路布线问题
#include <iostream> 
using namespace std; 
 
const int N = 10;
 
void MNS(int C[],int n,int **size);
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);
 
int main()
{
	int c[] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};//下标从1开始
	int **size = new int *[N+1];
 
	for(int i=0; i<=N; i++)
	{
		size[i] = new int[N+1];
	}
 
	MNS(c,N,size);
 
	cout<<"电路布线最大不相交连线数目为："<<size[N][N]<<endl;
 
	int Net[N],m;
	Traceback(c,size,N,Net,m);
 
	cout<<"最大不相交连线分别为："<<endl;
	for(int i=m-1; i>=0; i--)
	{
		cout<<"("<<Net[i]<<","<<c[Net[i]]<<") ";
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}
 
void MNS(int C[],int n,int **size)
{
	for(int j=0;j<C[1];j++)
	{
		size[1][j]=0;
	}
 
	for(int j=C[1]; j<=n; j++)
	{
		size[1][j]=1;
	}
 
	for(int i=2; i<n; i++)
	{
		for(int j=0; j<C[i]; j++)
		{
			size[i][j]=size[i-1][j];//当i<c[i]的情形
		}
		for(int j=C[i]; j<=n; j++)
		{
			//当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况
			size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);
		}
	}
	size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);
}
 
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)
{
	int j=n;
	m=0;
	for(int i=n;i>1;i--)
	{
		if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边
		{
			Net[m++]=i;
			j=C[i]-1;//更新扩展连线柱区间
		}
	}
	if(j>=C[1])//处理i=1的情形
	{
		Net[m++]=1;
	}
}

复杂性

显然计算最大不相交子集需要O（n^2）和T（n^2）的时间和空间，回溯求最优解需要O(n)的时间。