数据结构与算法

日日安.

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分类专栏：软考文章标签： c语言算法 1024程序员节

于 2024-09-22 09:15:42 首次发布

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概括

策略	时间复杂度	空间复杂度	思想	特点
分治法	O $n\log_{}n$	O(n)	将问题拆解，递归求解后合并	归并怕徐、二分查找、快速排序
动态规划	O( $n^{2}$ )~O( $n^{k}$ )	O(n)~O( $n^{2}$ )	记录子问题解避免重复，逐步构建最优解	自顶向下、自底向上
贪心	O $n\log_{}n$	O(1)	每一步都选择当前局部最优解	最短路径
回溯	指数级	O(n)	试探性找解，遇到死路退回	探索性遍历空间
分支界限	指数级（优化后）	O(n)	广度优先

分治法

顾名思义分治法的思想就是分而治之，将原有大的问题进行拆分，拆分成若干个与原问题结构相同、形式相同、互相独立、规模较小的子问题，递归的解决这些子问题，然后再将各个子问题进行合并得到原问题的解。

时间复杂度： $O(n\lg n)$

对原问题的要求

分治法的使用对原问题有所要求。

原问题规模缩小到一定程度就可以容易解决

原问题可以分解为若干个规模较小的相同问题

利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

该问题所分解出的各个子问题是相互独立的

分治法应用-递归

递归就是在运行的过程中调用自己。

递归调用（嵌套调用）时，越晚被调用的函数越早返回结果，栈的先进后出恰好满足此类属性。

例：

下表中第0项的值为1；第1项的值为2；第2项的值为第0项+第1项；第3项的值为第1项+第2项；以此类推。

第几项	0	1	2	3	4	5	6
数值	1	2	3	5	8	13	21

可以写为

int F(int n)
{
    if (n=0)    return 1;
    if (n=1)    return 2;
    if (n>1)    return F(n-1)+F(n-2);
}

此时如果想要输出第6项则计算方式是：

因此在程序中是

先用 if (n>1) return F(n-1)+F(n-2); 
将F(6)分为了F(5) + F(4)；

再次调用 if (n>1) return F(n-1)+F(n-2);
将F(5)分为了F(4) + F(3)；F(4)分为了F(3) + F(2)；

以此类推，直到将其分解为可以直接返回的F(1)或F(0)
运行过程中不断调用自身此为递归

分治法应用-二分法

Search(L,a,b,x)  //L表示待查数组，a表示数组L初始下标，b表示数组L结束下标，x表示需要查找的值
{
    if(a>b)    return (-1);  //a>b表示一直查找到数组L的最后或最前都未找到需要查找的值
    else{
        m=(a+b)/2;  //首先取数组L中间下标对应的值进行查找
        if(x==L[m])    return(m);  //如果中间值恰巧为需查找的值则直接返回
        else if(x>[m])  //如果需要查找的值>中间值
            return (Search(L,m+1,b,x);  
            //将下标为m+1的作为初始下标a继续调用查找函数查找数组L的后半段

        else
            return(Search(L,a,m-1,x));  
        //如果需要查找的值≤中间值，则将下标为m-1的作为结束下标b继续调用查找函数查找数组L的前半段

        }
}