数据结构-时间复杂度

时间复杂度

定义： 描述算法的运行时间。

那么为什么会引入这个概念呢？这个有什么用？

看下面

遇到一个算法时我们一般会如何评估它的时间开销呢？看下图

那么通过上图，我们发现统计算法运算时间时 受外界因素影响太大了，而且事后统计对于某些情况明显不适用。那么总结一下，现在的问题就是：
1.能否排除与算法本身无关的外界因素？
2.能否事先估计？

那么接下来就要靠 时间复杂度来解决这些问题了。

所以他的用途：事先预估算法时间开销T(n) 与问题规模n的关系。

知道了时间复杂度的概念、用途后，接下来就要想 这东西怎么算？

接下来通过一个实例来解释：

 首先默认认为执行一行代码的时间是相同的。基于这一点就可以计算上述算法的运算时间了，并得出以下输出：
（注意：main函数里面的语句并不算其内）

上面的时间开销就这样算出来了，但由此问题也来了，假如一个算法的时间开销表达式很复杂呢 。比如：T[n] = 3n^9 + n^8 + n^5 + ....
那么此时从表达式中就很难看出一个算法的优劣了
所以接下来就需要思考以下问题：

【问题1】【解】

针对问题1，给出解决办法（结论）：可以只考虑阶数高的部分，且其系数可省。

加法法则：多项相加，只保留最高阶的项，且系数为1

乘法法则：多项相乘都保留

例1：

T3(n) = 3n^3 + 99999999 -> O(n^3)

例2：

T2(n) = n^3 + n^2log₂n = O(n^3) + O(n^2log₂n)

注意：此时这个表达式 涉及到一个问题 怎么比较 对数和常数的时间复杂度优先级

此处先给结论：

时间复杂度由小到大

”常对幂指阶“

那么为什么这么排，看下图：（纵坐标代表时间开销）

另外注意：O 表示“同阶”，同等数量级。

        时间复杂度O(n) 为 时间开销T(n)的简化

 当n->无穷时，T(n)/O(n) = k(常数)

--------------------------------

--------------------------------

【问题2】【解】

先回顾问题2说什么：

针对问题2，解决办法（结论）

 结论1：顺序执行的代码只会影响常数项，可忽略

结论2：只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与n的关系即可。

结论3：如果多层嵌套循环，只关注最深层循环的循环次数。

看例题来理解

例3：

例4：

例5：

 

 看例5，此时首先涉及到以下概念：

最坏时间复杂度：

最好时间复杂度：

平均时间复杂度： 考虑所有输入数据都等概率出现的情况。

        另一个就是本体循环次数的计算，由于n在任意一个位置的概率的是一样的，所以计算循环次数的话，就相当于计算其均值，即期望。

        （数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。）

附：这里说一下我对期望的理解，期望和平均值最容易混淆，因为俩者都是求平均，而期望从其定义上看就是 加权平均。（“加权”是一个数学概念，这个词让我们先分开解释，“加”就是“乘以”的意思；“权”通俗的理解就是“系数”的意思，这个系数叫“权重”。所以“加权”的意思就是“乘以权重”，即“乘以系数”的意思。）

----------------

总结：

-----------------

对于“期望”在网上找了不少资料但还是感觉一知半解，在此请教各位大佬，帮忙解答一下，万分感谢。