AcWing1018.最低通行费

1018.最低通行费

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1)(2−1) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 N 行，每行 N个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤100

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33

看完这道题就知道是道dp的题。

直接写dp方程：

状态表示

f[i][j]表示从左下角到位置 [i,j]的最小值

也就是，f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w;

而第 i 层的答案只依赖于第 i 层和第 i - 1 层，容易想到滚动数组优化

在看到方程，发现不用滚动数组，直接用一维存即可（具体解释见代码）

一维转移：f[j] = max(f[j], f[j - 1]) + w;

答案表示

用二维存就是 f[n][m]

用一维存就是 f[m]

注意这道题是求最小值，所以要注意边界条件

AC代码：

#include <stdio.h>
int f[110][110], a[110][110];
int min(int a, int b)
{
    return a > b ? b : a;
}
int main() 
{
    int n, i, j;
    scanf("%d", &n);
    for(i = 1; i <= n; i++)
        for(j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    f[1][1] = a[1][1];
    for(i = 2; i <= n; i++) f[i][1] = f[i - 1][1] + a[i][1];
    for(j = 2; j <= n; j++) f[1][j] = f[1][j - 1] + a[1][j];
    for(i = 2; i <= n; i++)
        for(j = 2; j <= n; j++)
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j];
    printf("%d", f[n][n]);
    return 0;
}