AtCoder Beginner Contest 270 EX(期望)

吃花椒的妙酱

已于 2022-11-08 13:09:55 修改

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文章标签：算法

于 2022-10-09 11:06:41 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_53688600/article/details/127221888

针对一组数值和计数器，通过数学模型计算所有计数器达到特定状态的期望操作次数。利用状态转移方程和递推思想，解决复杂概率问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：n个数ai,和n个计数器ci（初始都为0），每次等概率选一个计数器置0，其他计数器+1，求所有计数器变成ai的期望次数。（a1=0,n<=2e5,ai<=1e18,ai数组不减）
Solution：
$\quad$ 设置一个状态 $state = max(a_i-c_i)$ ，当state = 0时就结束了，初始state = $a_n$ 。
$\quad$ 设 $E_k$ 表示state=k时到达state=0的期望次数。每次操作将某个 $a_i-c_i$ 变成 $a_i$ ，state变成 $max(ai,aj−cj−1),j≠imax(a_i,a_j-c_j-1),j\neq i$
state=k时，如果选择 $a_i<k$ 去置0，则state不变。
如果选择ai>=k去置0，则state = k-> state = $a_i$ 。
设 $a_r<k<=a_{r+1}$ (即最大的ai，小于k),有 $Ek=1+1n(rEk−1+∑j=r+1nEaj)=>Ek−1=1r(n(Ek−1)−∑j=r+1nEaj)E_k =1+\frac{1}{n}(rE_{k-1}+\sum_{j=r+1}^n E_{a_j})=>E_{k-1} = \frac{1}{r}(n(E_k-1)-\sum_{j=r+1}^n E_{a_j})$ 。
然后我们已知 $E_0=0,要求E_{a_n}$ ，而这个递推式的顺序是反的。改写一下
设 $T_k = E_{a_n}-E_k$ ,已知 $T_{a_n}=0要求$ $T_0$

$Ean−Ek−1=Ean−1r(n(Ek−1)−∑j=r+1nEaj)=Tk−1=1r(n(Tk+1)−∑j=r+1nTaj),ar<k<=ar+1E_{a_n}-E_{k-1} =E_{a_n}- \frac{1}{r}(n(E_k-1)-\sum_{j=r+1}^n E_{a_j})=\\ T_{k-1}=\frac{1}{r}(n(T_k+1)-\sum_{j=r+1}^n T_{a_j}),a_r<k<=a_{r+1}$
现在就可以倒着推了。
式子后面的 $∑j=r+1nTaj\sum_{j=r+1}^n T_{a_j}$ ，对于一些k是不会变的，也就是说只会变n-1次，所以可以看作常数，然后枚举这段变化。

设 $=\sum_{j=r+1}^n T_{a_j},a_r<k<=a_{r+1}$
上式 = $Tk−1=1r(n(Tk+1)−s)=nrTk+n−srT_{k-1}=\frac{1}{r}(n(T_k+1)-s)=\frac{n}{r}T_k+\frac{n-s}{r}$ 。

这里有个trick，当递推式是 $A^{i-j}(f(j)+D)，其中D=\frac{B}{A-1}且A\neq1$ 。

这里 $D=n−sn−r，且A不会为0D=\frac{n-s}{n-r}，且A不会为0$
有 $Tar+D=(nr)i−j(Tar+1+D)=>Tar=(nr)i−j(Tar+1+D)−DT_{a_r}+D=(\frac{n}{r})^{i-j}(T_{a_{r+1}}+D)=>T_{a_r}=(\frac{n}{r})^{i-j}(T_{a_{r+1}}+D)-D$ ,
递推的时候每次更新 $s->s+T_{a_j},其中s_{a_n}=0,T_{a_n}=0$ 。

c神说可以直接设 $f_k$ 表示第一次到达state=k的期望次数,然后可以直接得到上面T式子，似乎是用了期望的可加性，想了好久还不是很懂这个第一次的概念orz，QAQ

#define int long long
const int N=2e5+10;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
int n;
int a[N];
ll qsm(int a,int b){
    ll ans = 1,tmp = a;
    while( b ){
        if( b&1 ) ans = ans * tmp%mod;
        tmp = tmp * tmp%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int ni(int x){return qsm(x,mod-2);}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif  
    IOS;
    cin>>n;
    _for(i,1,n) cin>>a[i];
    int sr = 0 , E = 0;
    _rep(i,n-1,1){
        int r = i;
        int t = n *ni(r)%mod;
        int A = qsm(t,a[i+1] - a[i])%mod;
        int B = (n - sr + mod)%mod * ni(n-r+mod)%mod; 
        E = A * (E + B)%mod - B + mod;
        E %= mod;
        sr = ( sr + E )%mod;
    }
    cout<<E<<endl;
}