除留取余法为什么取最大质数证明

在哈希表中，除留取余法是一种常用的哈希函数构造方法，形式为 \(h(key) = key \bmod p\)，其中 p 是一个正整数，通常取为质数。以下是取 p 为质数（一般是小于等于哈希表大小 m 的最大质数）比取其他数更优的证明和原因：

1. 避免哈希值的聚集：

   • 当 p 不是质数时，可能会导致哈希值分布不均匀，出现哈希值聚集的情况。例如，如果 \(p = ab\)（\(a,b > 1\)），那么对于 \(key = k_1a\) 和 \(key = k_2a\)（\(k_1 \neq k_2\)），有 \(h(k_1a)=(k_1a)\bmod(ab)\) 和 \(h(k_2a)=(k_2a)\bmod(ab)\)。在这种情况下，这些 key 对应的哈希值可能会有一定的规律，使得它们集中在某些值上，从而增加冲突的概率。
   • 而当 p 是质数时，从数论的角度看，对于任意的 key，\(key \bmod p\) 的结果会更加均匀地分布在 \(\{0, 1, \cdots, p - 1\}\) 这个范围内。因为质数 p 除了 1 和它本身外没有其他因数，不会出现因为 key 的某些因数与 p 的因数之间的特殊关系而导致哈希值聚集的情况。

2. 减少冲突概率：

   • 设哈希表的大小为 m，取 p 为小于等于 m 的最大质数。这样做的好处是可以使得哈希函数尽可能地利用哈希表的空间，减少冲突。
   • 假设我们有一组关键字 \(key_1, key_2, \cdots\)，如果 p 与关键字的某些常见模式（例如关键字可能是某个数的倍数等）没有特殊的关系（这正是质数的特性），那么不同关键字映射到相同哈希值（冲突）的概率就会降低。
   • 例如，在实际应用中，若关键字是整数序列，若 p 取合数，比如 \(p = 4\)，那么所有偶数 key 的 \(key \bmod 4\) 的结果可能只在 0 和 2 之间取值，而奇数 key 的结果在 1 和 3 之间取值，这就容易导致冲突。而当 p 是质数时，这种规律性的冲突情况就会大大减少。

3. 数学证明：

   • 从数学角度严格证明，对于任意整数 a 和质数 p，根据同余定理，\(a \bmod p\) 的结果是唯一确定的，且在 \([0, p - 1]\) 范围内。对于不同的 \(a_1\) 和 \(a_2\)，如果 \(a_1 \neq a_2\)，那么 \(a_1 \bmod p = a_2 \bmod p\) 的概率相对较小。
   • 假设 \(a_1 = k_1p + r_1\)，\(a_2 = k_2p + r_2\)，其中 \(0\leq r_1,r_2 < p\)。若 \(a_1 \bmod p = a_2 \bmod p\)，则 \(r_1 = r_2\)，即 \(a_1 - a_2=(k_1 - k_2)p\)。当 p 是质数时，要使 \(a_1 \bmod p = a_2 \bmod p\) 成立，\(a_1\) 和 \(a_2\) 之间的差值必须是 p 的整数倍。而对于合数 p，存在更多的非零整数 \(a_1\) 和 \(a_2\)，它们的差值不是 p 本身，但却能使得 \(a_1 \bmod p = a_2 \bmod p\)，从而增加了冲突的可能性。

综上所述，在除留取余法中取 p 为小于等于哈希表大小 m 的最大质数，可以使哈希函数产生的哈希值更均匀地分布，减少冲突的发生，提高哈希表的性能 。

1. 首先明确同余运算的定义：
   • 对于整数 m 和 n，以及正整数 p，\(m\bmod p = r\)，其中 \(m = qp + r\)，\(0\leq r\lt p\)，q 为整数。
   • 已知 \(p = ab\)（\(a,b\gt1\)），对于 \(key_1 = k_1a\) 和 \(key_2 = k_2a\)（\(k_1\neq k_2\)），计算 \(h(k_1a)=(k_1a)\bmod(ab)\) 和 \(h(k_2a)=(k_2a)\bmod(ab)\)。
   • 根据除法运算，将 \(k_1a\) 除以 ab，使用带余除法 \(k_1a = q_1(ab)+r_1\)，其中 \(0\leq r_1\lt ab\)，则 \(h(k_1a)=r_1\)；同理，\(k_2a = q_2(ab)+r_2\)，其中 \(0\leq r_2\lt ab\)，则 \(h(k_2a)=r_2\)。
2. 然后进行进一步的分析：
   • 因为 \(k_1a\) 和 \(k_2a\) 都含有因数 a，且除数是 ab。设 \(k_1 = m_1b + s_1\)，\(k_2 = m_2b + s_2\)，其中 \(0\leq s_1,s_2\lt b\)。
   • 那么 \(k_1a=(m_1b + s_1)a=m_1ab + s_1a\)，所以 \((k_1a)\bmod(ab)=s_1a\)（因为 \(m_1ab\) 是 ab 的倍数，在求余运算中被舍去）。
   • 同理，\(k_2a=(m_2b + s_2)a=m_2ab + s_2a\)，所以 \((k_2a)\bmod(ab)=s_2a\)。
   • 这里 \(s_1\) 和 \(s_2\) 的取值范围是 \(\{0,1,\cdots,b - 1\}\)，所以 \(s_1a\) 和 \(s_2a\) 的取值只能是 a 的倍数且小于 ab，即 \(s_1a\in\{0,a,2a,\cdots,(b - 1)a\}\)，\(s_2a\in\{0,a,2a,\cdots,(b - 1)a\}\)。
   • 也就是说，对于所有形如 ka（k 为整数）的关键字，它们通过哈希函数 \(h(key)=key\bmod(ab)\) 得到的哈希值只能是 a 的倍数且小于 ab，这些哈希值集中在 b 个值 \(\{0,a,2a,\cdots,(b - 1)a\}\) 上。
   • 例如，若 \(a = 2\)，\(b = 3\)，则 \(p = ab = 6\)。对于 \(key_1=k_1\times2\) 和 \(key_2 = k_2\times2\)，\(h(k_1\times2)=(k_1\times2)\bmod6\) 的值只能是 \(0,2,4\)（当 \(k_1 = 0\) 时，\((0\times2)\bmod6 = 0\)；当 \(k_1 = 1\) 时，\((1\times2)\bmod6 = 2\)；当 \(k_1 = 2\) 时，\((2\times2)\bmod6 = 4\)；当 \(k_1 = 3\) 时，\((3\times2)\bmod6 = 0\) 等）。
3. 最后对比均匀分布的情况：
   • 一个理想的哈希函数应该使哈希值均匀分布在 \(\{0,1,\cdots,ab - 1\}\) 这 ab 个值上。
   • 但在上述情况中，对于形如 ka 的关键字，哈希值只分布在 b 个值上（\(b\lt ab\)），这就导致了哈希值分布不均匀，出现了哈希值聚集的情况。
   • 因为哈希值聚集，当我们插入更多的关键字时，这些关键字的哈希值更容易相同，从而增加了冲突的概率。

所以，当 p 不是质数（表示为 \(p = ab\)，\(a,b\gt1\)）时，对于特定形式的关键字（如 ka），会导致哈希值分布不均匀，增加冲突的可能性。