【笔记】4. 离散傅里叶变换及其性质

Discrete Fourier Transform

1. 离散傅里叶变换的表示

离散傅里叶变换就是有限长序列的离散频域表示，即有限长序列的离散傅里叶级数。

• $x(n)$ 看作是周期为 $N$ 的周期序列 $\tilde{x}(n)$ 的一个周期
• $\tilde{x}(n)$ 看作是 以 $N$ 为周期 $x(n)$ 的周期延拓

$$\tilde{x}(n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(n+rN)=x((n){)}_N$$
$\tilde{x}(n)$ 的第一个周期称$[0,N-1]$为主值区间, $x(n)$ 是 $\tilde{x}(n)$ 的主值大小序列。

• 矩形序列
  $$R(n)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le n\le N-1\\ 0,& else\end{array}$$
  则有 $x(n)=\tilde{x}(n)\cdot R(n)$

离散傅里叶变换对
$$DFS:X(k)=DFS[x(n)]=\sum _0^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=\tilde{X}(k)R_N(k),k=0,\mathrm{1..},N-1$$
$$IDFS:x(n)=IDFS[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk}=\tilde{x}(n)R_N(n),n=..N-1$$

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2.离散傅里叶变换的性质

1. 线性
   • $$DFT[a\cdot x_1(n)+b\cdot x_2(n)]=a\cdot X_1(k)+b\cdot X_2(k)$$
2. 序列的圆周（循环）移位
   • $$x_m(n)=x((n+m){)}_N{R}_N(n),m>0左移,m<0右移$$
   • $$X_m(k)=DFT[x_m(n)]=DFT[x((n+m){)}_N{R}_N(n)]=W_N^{-mk}X(K)$$
     $eg.$ x ( n ) = { 1 , 2 , 3 , 4 ; n = 0 , 1 , 2 , 3 }     求 x 2 ( n ) = ? x(n) = \{1,2,3,4;n=0,1,2,3\}\ \ \ \ 求x_2(n)=? x(n)={1,2,3,4;n=0,1,2,3}    求x2​(n)=?
     x 2 ( n ) = x ( ( n + 2 ) ) 4 R 4 ( n ) = { 3 , 4 , 1 , 2 ; n = 0 , 1 , 2 , 3 } x_2(n)=x((n+2))_4R_4(n)=\{3,4,1,2;n=0,1,2,3\} x2​(n)=x((n+2))4​R4​(n)={3,4,1,2;n=0,1,2,3}

3. 对偶性（对称定理）
   • $$DFT[X(n)]=Nx(N-k)$$
4. 反转(反褶)定理
   • KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 7: x(N-n)$̲\Leftrightarrow…
5. 序列的总和
   • 时间序列 $x(n)$ 中各取样值的总和等于其离散傅里叶变换 $X(k)$ 在 $k=0$ 时的值。
   • $$SUM[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)=X(k){|}_{k=0}=X(0)$$
6. 若 $x(n)$ 的离散傅里叶变换为 $X(k)$，则 $x(n)$ 的初始值 $x(0)$ 为频谱序列各取样值 $X(k)$ 的总和除以 $N$
   • $$\because x(n)=IDFS[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\therefore x(0)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)$$
7. 共轭对称性
   • 
8. 有限长序列的奇偶对称及其DFT
   • 若序列是奇对称的， 即 $$x(n)=-x(-n)=-x(N-n)X(k)=-X(N-n)$$
   • 若序列是偶对称的，即$$x(n)=x(N-n)X(k)=X(N-k)$$
   • 判断方法

9. 共轭(反)对称分量

• $$x_{ep}(n)={\tilde{x}}_e(n)R_N(n)=\frac{1}{2}[x((n){)}_N+x^{\ast }((N-n){)}_N]R_N(n)$$$$x_{op}(n)={\tilde{x}}_o(n)R_N(n)=\frac{1}{2}[x((n){)}_N-x^{\ast }((N-n){)}_N]R_N(n)$$
  $$x(n)=x_{ep}(n)+x_{op}(n)$$

10. 对称性质

    • 共轭复数的DFT$$DFT[x^{\ast }(n)]=X^{\ast }((-k){)}_N{R}_N(k)=X^{\ast }((N-k){)}_N{R}_N(k)$$

    • 序列实部的DFT D F T { R e [ x ( n ) ] } = X e p ( k ) = 1 2 [ X ( ( k ) ) N + X ∗ ( ( N − k ) ) N ] R N ( k ) DFT\{Re[x(n)]\} = X_{ep}(k) = \frac{1}{2}[X((k))_N + X^*((N-k))_N]R_N(k) DFT{Re[x(n)]}=Xep​(k)=21​[X((k))N​+X∗((N−k))N​]RN​(k)复序列的实部的DFT等于序列的DFT 的圆周共轭对称分量

    • 序列虚部的DFT D F T { j I m [ x ( n ) ] } = X o p ( k ) = 1 2 [ X ( ( k ) ) N − X ∗ ( ( N − k ) ) N ] R N ( k ) DFT\{jIm[x(n)]\} = X_{op}(k) = \frac{1}{2}[X((k))_N - X^*((N-k))_N]R_N(k) DFT{jIm[x(n)]}=Xop​(k)=21​[X((k))N​−X∗((N−k))N​]RN​(k)复序列的虚部乘以j的DFT等于序列的 DFT的圆周共轭反对称分量

    • 圆周共轭对称序列DFT$$X_{ep}(k)=X_{ep}^{\ast }((N-k){)}_N{R}_N(k)$$$X_{ep}(k)$实部偶对称，虚部奇对称

    • 圆周共轭反对称序列DFT$$X_{op}(k)=-X_{op}^{\ast }((N-k){)}_N{R}_N(k)$$$X_{op}(k)$实部奇对称，虚部偶对称

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