m0_52766855的博客

若两个整数 aaa，bbb 除以 正整数 mmm 后余数相同，则说 aaa，bbb 关于模 mmm 同余，记作：a≡b(modm)a\equiv b \pmod m a≡b(modm)同余的相关性质：易错点：若 ak≡bk(modm)ak\equiv bk\pmod mak≡bk(modm)，则不一定 a≡b(modm)a\equiv b\pmod ma≡b(modm)表述：若正整数 nnn 与整数 aaa 互质，则满足 aϕ(n)≡1(modn)a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod naϕ

无

根据试除法的结论，一个整数 NNN 的约数个数的上界为 2N2\sqrt N2N​约数个数定理，其中 aia_iai​ 为质因子的次数（算术基本定理）：∏i=1n(ai+1)\prod_{i=1}^n(a_i+1)i=1∏n​(ai​+1)约数和定理（数学归纳法）：∏i=1n∑j=0aipij\prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{a_i} p^j_ii=1∏n​j=0∑ai​​pij​intintint 范围内，一个正整数最多的约数个数为 153615361536试除法求约数板子（注意易错

题目思路（找规律题目）列几个式子：aL+k0=naL+k_0=naL+k0​=na(L+1)+k1=na(L+1)+k_1=na(L+1)+k1​=n…a(L+c)+kc=na(L+c)+k_c=na(L+c)+kc​=nb(L+c+1)+kc+1=nb(L+c+1)+k_{c+1}=nb(L+c+1)+kc+1​=n…可以发现，当整除 iii 时的商相同时，余数递减。我们可以从小到大“跳商”，经验证，时间复杂度大概 O(N)O(\sqrt N)O(N​)怎么跳呢？求出 a=N/L

题目描述思路由算术基本定理：ai=p1q1p2q2....pkqka_i=p_1^{q_1}p_2^{q_2}....p_k^{q_k}ai​=p1q1​​p2q2​​....pkqk​​所以：aiaj=p1i1+j1p2i2+j2.....pkif+jfa_ia_j=p_1^{i_1+j_1}p_2^{i_2+j_2}.....p_k^{i_f+j_f}ai​aj​=p1i1​+j1​​p2i2​+j2​​.....pkif​+jf​​又因为：aiaj=xka_ia_j=x^kai​aj​=xk

题目描述给定整数NNN，求1≤x,y≤N1≤x,y≤N1≤x,y≤N 且 GCD(x,y)GCD(x,y)GCD(x,y) 为素数的数对 (x,y)(x,y)(x,y) 有多少对。GCD(x,y)GCD(x,y)GCD(x,y)即求 x，yx，yx，y 的最大公约数。输入格式输入一个整数 N。输出格式输出一个整数，表示满足条件的数对数量。数据范围1≤N≤1071≤N≤10^71≤N≤107思路结论：1−N1-N1−N的正整数中，互质二元组的个数为 −1+2∗∑i=1Nphi[i]-1+2

题目给定整数 N，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。输入格式一个整数 N。输出格式N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 pip_ipi​,cic_ici​，表示含有 picip_i^{c_i}pici​​ 项。按照 pip_ipi​ 从小到大的顺序输出。数据范围3≤N≤1063≤N≤10^63≤N≤106思路对于N!N!N!，质因子xxx，cnt(x)=∑i=1∞⌊Nxi⌋cnt(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\