最长公共子序列问题

要解决最长公共子序列问题，可以使用动态规划的方法进行分析和求解。下面是步骤：

定义状态：定义一个二维数组dp[i][j]，表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的长度。

初始化边界：将第一行和第一列初始化为0，即dp[i][0] = 0和dp[0][j] = 0，因为其中一个字符串为空，最长公共子序列的长度为0。

状态转移方程：对于字符串A的第i个字符和字符串B的第j个字符（假设索引从1开始），分为两种情况：

如果A[i]等于B[j]，表示两个字符相同，可以将该字符添加到最长公共子序列中，因此最长公共子序列的长度为dp[i-1][j-1] + 1。
如果A[i]不等于B[j]，表示两个字符不同，那么要么在字符串A中去掉A[i]，要么在字符串B中去掉B[j]，取两种情况中最长的子序列长度，即max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
将上述两种情况的最大值赋给dp[i][j]，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + 1, dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

填充整个dp数组：根据状态转移方程，使用两个嵌套的循环来遍历字符串A和字符串B的所有字符，并根据状态转移方程更新dp[i][j]的值。

返回答案：最终的答案即为dp[m][n]，其中m和n分别为字符串A和字符串B的长度。

通过以上步骤，就可以得到最长公共子序列的长度。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    int m = text1.length();
    int n = text2.length();

    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }

    return dp[m][n];
}

int main() {
    string text1 = "ABCBDAB";
    string text2 = "BDCAB";
    int result = longestCommonSubsequence(text1, text2);
    cout << "最长公共子序列的长度为: " << result << endl;
    
    return 0;
}

注意这里的vector< vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1))
中的一维数数组和二维数组