2019CCPCFinal-Russian Dolls on the Christmas Tree-(树上启发式合并或LCA维护贡献)

K

题意：
就是给你一个树，每个点的编号i就是一个大小为i的小盒子，i可以装进i+1里面，但是不能直接装到i+2里面，因为少了一个i+1。现在就是问你，对于每一个子树这个子树的所有的盒子，能合并的都合并后，会剩下几个盒子。

思考：

1. 当时vp的时候，感觉这个题真难读，就硬读不懂想干啥，队友说过原来是俄罗斯套娃…。这样就清晰了。那么我看了看，难道是dp？感觉没啥好dp的。既然是求每个子树，那么是向树上启发式合并靠拢的。
2. 那么我就开始想了，我每次增加新的盒子的时候，我怎么判断加上编号为i的套娃，我是不是需要多开一个盒子，这个必须O(1)，如果我只是把所有的套娃放在了set里，最后再判断有多少个不连续的片段这样复杂度就是O(n×n)的了。
3. 但是O(1)该怎么弄呢？然后我就写了几个样例，发现当加入第i个套娃的时候，如果没有比他小的，那么答案就++，如果有比他大的，那么答案就–。对于删去第i个套娃的时候，如果有比他小的并且有比他大的，那么答案就++，如果没有比他小的也没有比他大的，那么答案就–。然后就是基本的树上启发式合并就可以了。
4. 赛后看了下题解发现还可以求lca维护贡献去做，刚开始每个点的答案anw[i] = 1。然后枚举所有相邻的(i,i+1)，那么anw[lca(i,i+1)]–。那么到此就是每个点的答案维护出来了，那么每个点真正的答案就是再求一个子树的和就可以了。
5. 其实不管怎么样，当想到某个算法或者感觉可以做的时候，一定要多推一推式子，多试试，多看看该怎么处理，如果光空想，很难很难可以想出来，一定要多画画推一推。

代码：

树上启发式：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);

using namespace std;

const int N = 2e5+10;

int T,n,m;
int vis[N];
int siz[N],son[N];
int anw[N],ans;

vector<int > e[N];

void get(int now,int p)
{
	siz[now] = 1;
	for(auto spot:e[now])
	{
		if(spot==p) continue;
		get(spot,now);
		siz[now] += siz[spot];
		if(siz[son[now]]<siz[spot]) son[now] = spot;
	}
}

void add(int now,int p,int value,int wson)
{
	if(value==1)
	{
		if(!vis[now-1]) ans++;
		if(vis[now+1]) ans--;
		vis[now] = 1;
	}
	if(value==-1)
	{
		if(vis[now-1]&&vis[now+1]) ans++;
		if(!vis[now-1]&&!vis[now+1]) ans--;
		vis[now] = 0;
	}
	for(auto spot:e[now])
	{
		if(spot==p||spot==wson) continue;
		add(spot,now,value,wson);
	}
}

void dfs(int now,int p,int del)
{
	for(auto spot:e[now])
	{
		if(spot==p||spot==son[now]) continue;
		dfs(spot,now,1);
	}
	if(son[now]) dfs(son[now],now,0);
	add(now,p,1,son[now]);
	anw[now] = ans;
	if(del) add(now,p,-1,0);
}

void init()
{
	ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		e[i].clear();
		vis[i] = siz[i] = son[i] = anw[i] = 0;
	}
}

signed main()
{
	IOS;
	cin>>T;
	for(int cs=1;cs<=T;cs++)
	{
		cin>>n;
		init();
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			e[a].pb(b);
			e[b].pb(a);
		}
		get(1,0);dfs(1,0,1);
		cout<<"Case #"<<cs<<": ";
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cout<<anw[i];
			if(i!=n) cout<<" "; 
		}
		if(cs) cout<<"\n";
	}
	return 0;
}
lca维护答案：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);

using namespace std;

const int N = 2e5+10;

int T,n,m;
int anw[N];
int acc[N][25],dep[N],cnt = 22;

vector<int > e[N];

void get(int now,int p)
{
	acc[now][0] = p;
	dep[now] = dep[p]+1;
	for(int i=1;(1ll<<i)<=dep[now];i++)
	acc[now][i] = acc[acc[now][i-1]][i-1];
	for(auto spot:e[now])
	{
		if(spot==p) continue;
		get(spot,now);
	}
}

void dfs(int now,int p)
{
	for(auto spot:e[now])
	{
		if(spot==p) continue;
		dfs(spot,now);
		anw[now] += anw[spot];
	}
}

int lca(int a,int b)
{
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=cnt;i>=0;i--)
	{
		if(dep[acc[a][i]]>=dep[b])
		a = acc[a][i];
	}
	if(a==b) return a;
	for(int i=cnt;i>=0;i--)
	{
		if(acc[a][i]!=acc[b][i])
		{
			a = acc[a][i];
			b = acc[b][i];
		}
	}
	return acc[a][0];
}

void init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		e[i].clear();
		dep[i] = 0;anw[i] = 1;
		for(int j=0;j<=cnt;j++) acc[i][j] = 0;
	}
}

signed main()
{
	IOS;
	cin>>T;
	for(int cs=1;cs<=T;cs++)
	{
		cin>>n;
		init();
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			e[a].pb(b);
			e[b].pb(a);
		}
		get(1,0);
		for(int i=1;i<n;i++) anw[lca(i,i+1)]--;
		dfs(1,0);
		cout<<"Case #"<<cs<<": ";
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cout<<anw[i];
			if(i!=n) cout<<" "; 
		}
		if(cs) cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

总结：
多多思考，加油。