花式计算斐波那契(fibonacci)数列

关于

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
$$F(0)=1，F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n\ge 2，n\in N\ast ）$$

1. 循环

    /**
     * 使用循环计算fibonacci
     * 
     * @param n
     * @return
     */
    public static int fibLoop(int n) {
        if (n <= 2)
            return 1;
        int a = 1, b = 1;
        while (n-- != 2) {
            b = a + b;
            a = b - a;
        }
        return b;
    }

2. 递归

    /**
     * 使用简单递归
     * 
     * @param n
     * @return
     */
    public static int fibRecursive(int n) {
        if (n == 1 || n == 2)
            return 1;
        return fibRecursive(n - 1) + fibRecursive(n - 2);
    }

3. 带备忘录的递归

    /**
     * 带备忘录的fib
     * 
     * @param n
     * @return
     */

    public static int fibRecord(int n) {
        int[] rec = new int[n + 1];
        int fib = fib(rec, n);
        System.out.println(Arrays.toString(rec));
        return fib;
    }
        /**
     * 带备忘录的fib计算核心函数
     * 
     * @param rec
     * @param n
     * @return
     */
    private static int fib(int[] rec, int n) {
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }
        if (rec[n] > 0)
            return rec[n];
        rec[n] = fib(rec, n - 1) + fib(rec, n - 2);
        return rec[n];
    }

4.使用公式

公式就是
$$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$$

    /**
     * 公式
     * 
     * @param n
     * @return
     */
    public static int fibFormula(int n) {
        double sqr = Math.sqrt(5);
        double ret = (Math.pow((1 + sqr) / 2, n) - Math.pow((1 - sqr) / 2, n)) / sqr;
        return (int) ret;
    }

5. 使用矩阵乘法

原理就是

我们已经知道

$$F(0)=1，F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n\ge 2，n\in N\ast ）$$
也即
$$F(n+1)=F(n)+F(n-1)$$
所以现在我们要构造一个矩阵, 要求里面含有这三项, 也就有了下面2x2的矩阵😎
$$\left[\begin{array}{cc}F\left(n+1\right)& F\left(n\right)\\ F\left(n\right)& F\left(n-1\right)\end{array}\right]$$
现在我们希望有一个矩阵A使得:
$$\left[\begin{array}{cc}F\left(n+1\right)& F\left(n\right)\\ F\left(n\right)& F\left(n-1\right)\end{array}\right]\times A=\left[\begin{array}{cc}F\left(n+2\right)& F\left(n+1\right)\\ F\left(n+1\right)& F\left(n\right)\end{array}\right]$$
求得
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
令
$$T\left(n\right)=\left[\begin{array}{cc}F\left(n+1\right)& F\left(n\right)\\ F\left(n\right)& F\left(n-1\right)\end{array}\right]$$
则
$$T\left(n\right)=T\left(n-1\right)\times \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=T\left(n-2\right)\times {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^2=......={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n$$
故

 /**
     * 使用矩阵计算fib
     * @param n
     * @return
     */
    public static int fibMatrix(int n) {
        if (n <= 2)
            return 1;
        int[][] a = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
        int[][] pow = matrixPow(a, n);
        return pow[1][0];
    }

    /**
     * 矩阵乘法 A(m*n)xB(n*p)=C(m*p)
     * 
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static int[][] matrixMutiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[a.length][b[0].length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++)
            for (int j = 0; j < b[0].length; j++)
                for (int k = 0; k < b.length; k++)
                    c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        return c;
    }

    /**
     * 矩阵 快速幂
     * 
     * 计算矩阵A的b次幂
     * 
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static int[][] matrixPow(int[][] a, int b) {
        int[][] c = new int[a.length][a.length];
        // 单位阵
        for (int i = 0; i < a.length; i++)
                    c[i][i] = 1;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) != 0) {
                c = matrixMutiply(a, c);
            }
            a = matrixMutiply(a, a);
            b >>= 1;
        }
        return c;
    }

统一测试下

    public void testFib() {
        int n = 10;
        System.out.println(fibLoop(n));
        System.out.println(fibRecursive(n));
        System.out.println(fibRecord(n));
        System.out.println(fibFormula(n));
        System.out.println(fibMatrix(n));
    }