数论入门 2021-2-28

一、

模运算

当答案或者运算过程中数据太大，题目要求输出答案对某个大数据取模，
有以下结论：

(a+b)%MOD=(a%MOD+b%MOD)%MOD
(a-b)%MOD=(a%MOD-b%MOD)%MOD
(a*b)%MOD=(a%MOD*b%MOD)%MOD
而除法取模需要逆元，后面会介绍

c++语言取模过程中，会遵循商尽量大的原则，所以(-5)%3=-2
这个不符合数学上取模的标准，因此使用c++对减法取模应该写成：

(a-b+MOD)%MOD

二、质数

1～n当中，大约有$\frac{n}{ln(n)}$个质数

1、质数筛

埃氏筛
复杂度为O(nlg(lg(n)))

const int maxn=1e6;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
int cnt=0;
void Prime(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
                vis[j]=true;
            }
        }
    }
}

//此处有个小优化，嵌套的循环内$j$从 $i\ast i$ 开始，而不是$i+i$开始，因为$i\ast (2->i-1)$在这之前都已经被筛去。

欧拉筛
复杂度O(n)

const int maxn=1e6;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
int cnt=0;
void Prime(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){
            vis[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0){
            //保证每个合数都用该数最小的质因子筛掉
            //当i%prime[j]==0的时候，说明如果j继续加一，被筛掉的数就不是用其最小的质因子筛去的了。
                break;
            }
        }
    }
}

2、质因数分解----试除法

任意正整数$n$最多有一个比$sqrt(n)$大的质因子，质因数分解模版如下：
(⁎⁍̴̛ᴗ⁍̴̛⁎)
质因数分解模版

int pdivid[10000];
int cnt=0;//记录一共有多少个质因子
void divid(int n){
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
        if(n%i==0){
            //此处i一定为质数
            pdivid[++cnt]=i;
            int s=0;
            while(n%i==0){
                n/=i;
                s++;//可以计算每个质因子出现的次数，这份代码不记录这个数
            }
        }
    }
    if(n>1){
        pdivid[++cnt]=n;
    }
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    divid(n);
    cout<<pdivid[cnt]<<endl;
}

三、约数

1、试除法

直接枚举从1~sqrt(n)所有的数字，可以得到n所有的约数。
每个数的约数个数期望为lg(n).

2、约数个数和约数之和

先对N进行质因数分解，假设分解后：
o(｀ω´ )o：：：：：

$N==p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_k^{c_k}$

（pi为质因子，ci为质因子对应的次数）

那么N的约数个数为：：
$(c1+1)\ast (c2+1)\ast ...\ast (ck+1)$

N的约数之和为：：
$(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1})\ast ...\ast (p{k}^0+p{k}^1+...+p{k}^{c_k})$
（把上式子展开后，直接看出为计算每个约数的和）

const int mod=1e9+7;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    
    unordered_map<int,int> primcnt;
    while(n--){
        int x;
        cin>>x;
        
        for(int i=2;i<=x/i;i++){
            while(x%i==0){
                x/=i;
                primcnt[i]++;
            }
        }
        
        if(x!=1){
            primcnt[x]++;
        }
    }
    
    ll ans=1;
    //遍历map
    for(auto prim:primcnt){
        ans=(ans*(prim.second+1))%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
}

3、最大公约数（gcd）

欧几里得算法

$gcd(a,b)=gcd(b,a$

（好神奇啊！）ʕ •ᴥ•ʔ

int gcd(int a,int b){
    if(b==0){
        return a;
    }
    else
        return gcd(b,a%b);
}

四、欧拉函数

1、定义
欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（比如$\phi (1)=1$）

2、公式
$\phi (N)=N\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast .....\ast (1-\frac{1}{p_i})$
其中$p_i$为$N$的质因子。

3、筛法求1～n的欧拉函数

void get_eulers(int n){
    //得到1～n所有欧拉函数的值
    //其实是欧拉筛变体
    int cnt=0;
    
    phi[1]=1;
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++cnt]=i;
            //如果这个数是个素数，显然在1～i之间，有i-1个数与其互质
            phi[i]=i-1;
        }
        
        for(int j=1;prim[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0){
                //如果prim[j]是i的因子
                //根据公式，phi[i]=i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)
                //i*prim[j]的所有因子跟i相同
                //phi[i*prim[i]]=prim[i]*i*(1-1/P1)*...*(1-1/Pi)=phi[i]*prim[i]
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;
            }
            //如果prim[j]不是i的因子
            //那么i*prim[j]的因子与i相差一个prim[j]
            //phi[i*prim[i]]=phi[i]*prim[j]*(1-1/prim[j])=phi[i]*phi[prim[j]]
            phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
        }
    }
}

欧拉定理

如果a与n互质，那么$a^{phi(n)}\equiv 1(modn)$.

四、快速幂

ll my_pow(int a,int k,int p=1e9+7){
    ll res=1;
    while(k){
        if(k&1){
            //如果k不能整除2
            res=(res*a)%p;
        }
        k>>=1;
        a=(a*a)%p;//让底数平方
    }
    return res;
}