~一些结论-优快云博客

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这篇博客探讨了如何利用数学规律解决编程竞赛中的问题，具体涉及平方和的性质及其在数列构造中的应用。文章通过举例解释了如何通过公式(a+1)^2-(a+2)^2-(a+3)^2+(a+4)^2=4快速求解特定类型的数值。此外，还介绍了另一个数论结论a+b=a|b+a&b在解决交互式编程问题上的作用，并提到了该结论在不同比赛和训练题目中的应用。

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最近遇到了一些数学方面的（或者数论方面的）结论题。

题目1

CCPC网络选拔赛（unr）— power sum

在这里插入图片描述
这样的一个公式，看似不好写，但是我们先列出来
$a+1)^2=a^2+2*a+1$
$a+2)^2=a^2+4*a+4$
$a+3)^2=a^2+6*a+9$
$a+4)^2=a^2+8*a+16$
因此我们现在有了这样的一个等式可以完成：
$a+1)^2-(a+2)^2-(a+3)^2+(a+4)^2=4$
我们也可以整体置负，这样结果就可以往左边走
每一项是加4，我们无法遍历到全体正整数集，因此
我们从0开始
1.
（啥都没有直接从 $a+1)^2-(a+2)^2-(a+3)^2+(a+4)^2=4$ 开始循环）可以遍历到正整数集合中全部的 $4 * n$ 的数
2.
$1$ 可以遍历到正整数集合中全部的 $1 + 4 * n$ 的数
3.
$- 1 - 4 - 9 + 16$ 可以遍历到正整数集合中全部的 $2 + 4 * n$ 的数
4.
$- 1 + 4$ 可以遍历到正整数集合中全部的 $3 + 4 * n$ 的数
因此就可以开始构造了

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int n=0;
		cin>>n;
		if(n%4==0){
			printf("%d\n",n/4*4);
			for(int i=1;i<=n/4;i++){
				cout<<"1001";
			}
		}else if(n%4==1){
			printf("%d\n",1+n/4*4);
			cout<<"1";
			for(int i=1;i<=n/4;i++){
				cout<<"1001";
			}
		}else if(n%4==2){
			printf("%d\n",n/4*4+4);
			cout<<"0001";
			for(int i=1;i<=n/4;i++){
				cout<<"1001";
			}
		}else{
			printf("%d\n",2+n/4*4);
			cout<<"01";
			for(int i=1;i<=n/4;i++){
				cout<<"1001";
			}
		}
		cout<<endl;
	}
}