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2、Dijkstra（Uniform Cost Search）
一、引入
当我开始学习该算法时，网上已经有了很多优秀的介绍性文章了。如果你看到了文章中出现了以下有着红色星星★和紫色×的路径图：
那么该文章很大概率参考了Red Blob Games（点击跳转）的A*算法教程。该教程是一个很不错的引入教程，有着很生动的交互式图表和简单易懂的描述过程。
以下通过BFS、贪婪BFS、Dijkstra算法作为引入逐步引入A*算法，使得对于A*算法有一个初步的整体了解。
Red Blob Games里面有三张图来说明BFS、Dijkstra、A*算法的的区别，如果有点基础的其实看完就知道个大概了：
BFS（Breadth First Search ）：每一个方向都平等的扩展，因此它的探索轨迹是一圈又一圈的同心圆，像涟漪一样一圈一圈均匀地往外扩展。
我们知道BFS扩展的时候是对一个节点的所有邻接节点依次扩展，每个节点被扩展的机会是公平的，即各个邻接节点的扩展机会一样，顺序任意。在迷宫问题中表现为，选一个节点的右、上、左、下（不一定要右上左下，你想上下左右都可以）节点加入到队列里面，然后按放进去的顺序从队列取出来节点继续扩展，同样是将这个节点的右、上、左、下节点加入队列。那么在迷宫上展现的过程就是对这个节点距离为1的一圈搜索一遍，然后又搜索距离为2的一圈、距离为3的一圈……
具体动画效果如下：
从上面可以看到，对于迷宫问题以及其他路径权重相等的图搜索中，BFS是一种非常有用的算法。BFS一定可以搜索到所有可以到达的节点，它是一种暴力的穷尽查找算法，并且能找到最短路径（前提所有边权相等）。
Dijkstra算法（Dijkstra’s Algorithm ）：某些节点（方向、路径）会优先被探索，一般是那些具有更小代价的节点和路径会被优先探索。因为该算法是用来求最短路的，算法正确性要求每次都要选择当前已知的最短路进行探索，因此它的探索轨迹是随机的、不均匀的，就像山脊的等高线图一样。
Dijkstra相比BFS的区别就是此时图的各条边的边权不同了，此时BFS不再适用。
还是迷宫问题，方块里面的值表示起点★到该方块的代价（cost）(可以理解为距离、花费的成本)，左图中移动到相邻方块的代价都是1，右图中移动到相邻方块的权值视方块颜色而定：移动到棕色■的代价是1，移动到绿色■的代价是5，灰色■表示不可穿越的障碍。
左图中因为各个方块代价一致，使用BFS算法，算法会直接穿过绿色区域到达终点×；右图中因为方块代价不同，使用Dijkstra算法，算法则会绕过绿色区域到达终点×。
它俩算法的执行动画如下：
具体BFS和Dijkstra算法过程下面会详细介绍，这里只需要知道他们应用的区别。
A*算法：它优先考虑“似乎”更接近目标的路径。该算法也是不断寻找估计的“当前最有潜力”的节点，和Dijkstra算法一样都是不均匀的山脊图。但相比Dijkstra算法的杂乱无章的山脊轨迹，它是有目的性、方向性的，轨迹扩展方向总是选择更靠近目标的那一侧，下面的图可以看到一直往尖端的一侧伸展，因为在A*算法眼中那里更接近终点。
它是对 Dijkstra 算法的修改，针对单个目标进行了优化。Dijkstra的算法可以发现到达所有位置的路径。但是在我们寻路算法中，我们可能只需要寻找到达一个位置的路径，这意味着Dijkstra算法中的一些额外开销是不必要的。A*算法是一种单点对单点的路径寻找算法，就像在LOL中点击小地图的某个位置，系统会自动寻路，得到通往目的位置的一条“白线”，来表示它是最短的路径。
它会利用自己一些已知的启发信息，来合理规划自己的探索方向，避免了Dijkstra的一些盲目性。
二、具体细节
在这里需要提一点的是，下面讨论的A*算法仅仅作为一种寻路算法，讨论的也是仅限于图中路径的搜索。但其实A*算法不止适用于路径搜索，它是一种启发式的思想，它还可以用于其他问题如八数码问题的求解，只是大多数问题最后化简之后可以归结为图论（或者树）的路径求解，因此我们只需理解路径搜索就能理解整个算法思想。
这一点正如BFS算法，BFS也不仅仅适用于路径搜索，例如算法题目中常用的暴力穷举，但我们学习该算法的时候也只关心路径的搜索，因为暴力穷举最后实质上也是一棵根节点开始的搜索树。
同时为了方便理解，采用的都是网格图，但是其实应用在所有类型的图结构中都是一样的、正确的。这不难理解，因为网格图最终也可以化成节点+边权为1的一般图。
BFS和Dijkstra算法我们再熟悉不过了，事实上不必多讲。我们的重点是A*算法，这里具体展开BFS和Dijkstra的算法过程原因是，一方面是希望大家清楚地知道A*算法是如何得来的；另一方面，是我个人太喜欢这个网站的代码图和交互动画了，真的是百看不厌。
1、BFS（Breadth First Search）
BFS思想的关键就是不断地扩展边界（frontier）。
BFS的python代码如下：
思路是：
先创建一个队列(Queue，先进先出：先放进的节点先扩展)frontier，frontier用来存储待扩展的节点，因此初始时需要将起点start★放进frontier；
再创建一个集合(Set，集合的元素无序且不会重复)reached，reached用来存储已经到过的节点，就是我们常命名的visit。
只要frontier不为空，就从frontier中取出一个元素current进行扩展。对于的所有current邻居 next，只要next不在reached里面（即没有到达过），就把next放进frontier里面，然后放到reached标记为已经到达。
上面的BFS代码没有构建出一条路径，仅仅告诉了我们如何遍历图上的所有点。因此需要进行修改，记录我们是怎么到达每一个点的路径。
黄色部分是修改的部分：
这里用came_from替换了reached。
came_from是字典(Dictionary，键值对，一个key对应value)，came_from不仅可以表示和reached一样的功能（判断一个节点是否到达过），方法是判断came_from里面是不是存在key为这个节点的键值对；还能记录每个点的前序节点，用came_from[节点i]来记录，这样当找到终点时就能顺着前序节点一直寻找到起点。
还有一处修改部分是：之前是判断是否在reached里面，不在的话直接放到reached集合里面；现在是判断是否在came_from里面，不在的话存储came_from[该节点的邻居next]为当前扩展的current。
当每个节点都存储了从哪里来的信息后，整张图的情况就是下面这样：
上面的指示箭头就告诉了前序节点是谁，这样当我们BFS找到终点时，我们就有了足够的信息知道我们是怎么到达终点的，也就能重建这一条路径。方法如下：
从goal开始，顺着came_from存储的前序节点，一个一个地回溯到起点，期间不断将路径放到数组path里面，因为越靠近终点的节点越早放进去，所以存储的path最后存储的是一条从终点到起点的反向路径，最后要将整个path反过来。
上面的BFS最后会遍历完图里的所有节点，也就是会知道起点到所有节点的最短路径（前提是图上边权都相等，否则不是最短）。但实际上我们一般只需要求到某一个目标节点的路径，因此很多过程是不必要的。原有的BFS一定是所有节点遍历完才终止，而我们现在只需要遍历到目标节点后就可以停下了，故我们可以及时终止。
过程如下，一旦找到目标节点，BFS就停止继续扩展：
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