数据结构与算法---时间复杂度与空间复杂度

算法效率

算法效率分析为两种:时间效率和空间效率.时间效率又称为时间复杂度,空间效率又称为空间复杂度.时间复杂度主要是衡量一个算法的运行速度,空间复杂度主要是衡量一个算法所需要的额外空间;在早期计算机发展时期,计算机容量很小,我们对空间复杂度很在乎,但随着计算机的发展,计算机的存储容量已经达到很高的程度.我们不必再关注一个算法的空间复杂度.

时间复杂度

一个算法所花费的时间和其中语句的执行次数成正比,算法中基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度.

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
public class Test {
    void func1(int N) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }
}

Func1 执行的基本操作次数 ：
$$F(N)=N^2+2N+10$$

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

使用大O表示法后,func1的时间复杂度为
$$O(n^2)$$
通过上面的大O表示法,我们发现去掉那些对结果影响不大的项,更能简洁的表示出算法的执行次数.

算法的时间复杂度还存在最好情况,最坏情况,平均情况

例如:我们在一堆数组中找一个数,那就要对数组进行遍历

int[] arr={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

最好情况:要找的数第一次就找到了;时间复杂度为O(1)

最坏情况:要找的数最后一次找到;时间复杂度为O(n)

平均情况:要找的数处于中间;时间复杂度为O(n/2)

在实际情况中一般关注的是算法的最坏运行情况,所以在数组中找数算法的时间复杂度为O(n)

例题

例题1:

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {

int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
   count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
   count++;
}
System.out.println(count);
}

基本操作执行次数为:2N+10 大O推导法 时间复杂度为O(n)

例题2:

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
   count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
   count++;
}
System.out.println(count);
}

例题3:
基本操作执行次数为:M+N 大O推导法 时间复杂度为O(M+N)

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i -1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}

例题4:
时间复杂度为O(n^2)

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1;
}

例题5:
时间复杂度为O(logN)

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

时间复杂度为O(N),函数调用一次相当于执行一次

例题6:

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
 return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

时间复杂度为O(2^N),一个方块数代表一次函数的调用.

总结:一般一个算法能做到对数级别,那么它就是一个优秀的算法.

空间复杂度

空间复杂度主要是看算法在执行过程中有没有"额外"开辟空间.空间复杂度也采用大O表示法.

一般是看有没有new 数组,一般来说一个对象所占的空间为O(1).

例题1:

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

例题2:

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
return fibArray;
}

开辟了N+1个空间,所以空间复杂度为O(N).