codeforces1188C Array Beauty（DP/前缀和）_array beauty 1188c-优快云博客

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本文详细解析了Codeforces 1188C题目的解题思路，重点介绍了如何利用动态规划和数组排序进行问题优化。首先，通过对数组排序找到所有子序列的美丽值，然后通过动态规划计算美丽值的贡献，进一步优化搜索范围，将时间复杂度降低到O(n*a[n])。文章提供了完整的C++代码实现，展示了算法细节。

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~~雀食是DP好题，DP玄学优化呜呜。~~

题目链接：codeforces 1188C

题目思路：

美丽值与顺序无关，故对数组排序，子序列的美丽值就是所有相邻数的差值的最小值。

设美丽值为 $x$ 的子序列个数为 cnt[x]，那么美丽值为1的子序列个数为 cnt[1]，它对答案的贡献为 cnt[1]*1，相似的，美丽值为2的子序列对答案的贡献为 cnt[2]*2，差值的最大值为 $10^5$ ，故最后的答案为：
$ans=\sum_{i = 1}^{10^5}cnt[i]*i$
不难发现答案就是 cnt 的后缀和 suf的和，suf[i] 表示美丽值不小于 $i$ 的方案数。于是，我们可以枚举美丽值 $x$ 。令 dp[i][j] 为最后一位为 $i$ ，长度为 $j$ ，差值不小于 $x$ 的子序列。定义状态转移方程：
$\sum dp[l][j-1], a[i]-a[l] \ge x$
因为 $l$ 是递增的，所以用前缀和求这个 $s u m$ ，最后算出的 dp[n][k] 就是美丽值不小于 $x$ 的方案数。时间复杂度为 $O (n * k * a [n])$ 。

这里优化参考dalao，具体做法是优化 dp 范围。长度为 $k$ 的子序列最大差值为 $(k - 1) * x$ ，而美丽值最大值是 $a [n]$ ，故现在只要求 $x\le a[n]/(k-1)$ 的范围即可，时间复杂度为 $O (n * a [n])$ 。

参考代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e3 + 10;
const int mod = 998244353;
ll a[N], dp[N][N], pre[N][N];
int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a+1, a+1+n);
    a[0] = -0x3f3f3f3f;
    ll ans = 0;
    for (int x = 1; x * (k-1) <= a[n]; x++) {
        dp[0][0] = 1, pre[0][0] = 1;
        int now = 0, res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            while (x <= a[i] - a[now]) now++;
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                if (j) dp[i][j] = pre[now-1][j-1];
                pre[i][j] = (pre[i-1][j] + dp[i][j]) % mod;
            }
            res = (res + dp[i][k]) % mod;
        }
        ans = (ans + res) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}