背包问题

背包问题

01背包问题

一件物品只有选or不选，是or不是两种情况

/*
f[i][j] 表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少

f[i][j] = 
1.不选第i个物品 f[i][j] = f[i-1][j];
2.选第i个物品，则总容量减少v[i] f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]+w[i];

f[0][0] = 0;
*/

//二维
const int N=1010;
int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)//物品件数
		for(int j=0;j<=m;j++)//总体积
		{
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j>=v[i])
				f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
		 } 
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

//一维（从后往前，防止重复，使每个物品只使用一次）
const int N=1010;
int n,m;
int f[N];
int v[N],w[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
		{
			f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
		 } 
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

完全背包问题

只要背包的容量充足，每件物品可以选择无数次

/*
f[i] 表示总体积是i的情况下，最大值是多少

从前往后考虑,可重复
for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=v[i];j<=m;j++)
		{
			f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
		 } 
*/

const int N=1010;
int n,m;
int f[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w;
		cin>>v>>w;
		for(int j=v;j<=m;j++)
		{
			f[j] = max(f[j],f[j-v] + w);
		} 
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

多重背包问题

第i个物品的可选择次数有限

普通方法

/*
f[i] 总体积是i的情况下，最大价值是多少

for（int i=1;i<=n;i++)//物品数量
{
	for(int j=m;j>=v[i];j--)//体积
	{
	
	}
}
*/
const int N=1010;
int n,m;
int f[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w,s;//s为每个物品的最多选择件数 
		cin>>v>>w>>s;
		for(int j=m;j>=v;j--)
			for(int k=1;k<=s && k*v <= j;k++)
				f[j] = max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

二进制优化方法

//当数据范围较大时，不能再用三个for
ceil(log(s+1))
/*
例子
7
1 2 4
1 
2
3 = 1+2
4 
5 = 1+4
6 = 2+4
7 = 1+2+4
*/
    
const int N=2010;
int n,m;
int f[N];

struct Good
{
	int v,w;
};

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	vector<Good> goods;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		for(int k=1;k<=s;k *= 2)
		{
			s -= k;
			goods.push_back({v*k,w*k});	
		}
		if(s>0)
			goods.push_back({v*s,w*s});	
	}
	
	for(int i=0;i<goods.size();i++)
		for(int j=m;j>=goods[i].v;j--)
			f[j] = max(f[j],f[j-goods[i].v]+goods[i].w);
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

单调队列优化方法

混合背包问题

物品多种，物品信息给出，问背包的最大价值

二维费用的背包问题

体积and重量的限制

/*
f[i][j] 表示体积是i，重量是j的情况下的最大价值
*/

const int N=110;
int n,v,m;
int f[N][N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>v>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		for(int j=v;j>=a;j--)
			for(int k=m;k>=b;k--)
				f[j][k] = max(f[j][k],f[j-a][k-b]+c);
	}
	cout<<f[v][m]<<endl;
	return 0;
}

分组背包问题

把物品分组，且每组选一件，组内部物品互斥

/*
f[i][j] 表示前i组物品，体积是j的情况下的最大价值

//遍历组，每组有s个物品
for(int i=0;i<n;i++)
{
	for(int j=m;j>=v;j--)//体积
		f[j] = max(f[j],f[j-v[0]]+w[0],f[j-v[1]]+w[2],...f[j-v[s-1]]+w[s-1])
}
*/

const int N=110;
int n,m;
int f[N],v[N],w[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int s;
		cin>>s;
		for(int j=0;j<s;j++) cin>>v[j]>>w[j];
		for(int j=m;j>=0;j--)
			for(int k=0;k<s;k++)
				if(j>=v[k])//剩余体积不能小于0，会出现数组越界
					f[j] = max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

背包问题求方案数

最大价值，or最小值

//01背包的变形
const int N=110;
int n,m;
int f[N];

int main(int argc, char** argv) {
	cin>>n>>m;
	f[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a;
		cin>>a;
		for(int j=m;j>=a;j--)
          //f[j] = max(f[j],)
			f[j] = f[j]+f[j-a];
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

记录背包问题的方案（最优）

有依赖的背包问题