本文详细介绍了平面解析几何中直线方程的多种表达形式，包括一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式、点向式、交点式、法线式、法向式和点平式，并阐述了它们的应用条件和特征。通过这些公式，读者可以更好地理解和解决涉及直线的问题。
刷算法题过程中遇到了平面解析几何中，直线方程的相关知识点，正好来复习下吧
1.一般式
适用于所有直线
A x + B y + C = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0 ) \large A_{x}+B_{y}+C=0(\large A^{2}+B^{2}\neq 0) Ax+By+C=0(A2+B2=0)
其中，斜率
K = − A B \large K=-\frac{A}{B} K=−BA
横、纵截距
a = − A C , b = − C B \large a=-\frac{A}{C},\large b=-\frac{C}{B} a=−CA,b=−BC
并且有两直线平行
A 1 A 2 = B 1 B 2 ≠ C 1 C 2 \large \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}\neq \frac{C_{1}}{C_{2}} A2A1=B2B1=C2C1
两直线重合
A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \large \frac{A_{1}}{A_{2}}= \frac{B_{1}}{B_{2}}= \frac{C_{1}}{C_{2}} A2A1=B2B1=C2C1
2.点斜式
适用于不垂直于 x \large x x 轴的直线
y − y 0 = k ( x − x 0 ) \large y-y_{0}=k\left ( x-x_{0} \right ) y−y0=k(x−x0)
表示过定点
P ( x 0 , y 0 ) \large P\left ( x_{0},y_{0} \right ) P(x0,y0)
斜率为 k \large k k 的直线
3.截距式
适用于不过原点或不垂直于 x \large x x 轴、 y \large y y 轴的直线
x a + y b = 1 \large \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ax+by=1
表示与 x \large x x 轴、 y \large y y 轴相交，且与 x \large x x 轴截距为 a \large a a、与 y \large y y 轴截距为 b \large b b 的直线
4.斜截式
适用于不垂直于 x \large x x 轴的直线
y = k x + b \large y=kx+b y=kx+b
表示斜率为 k \large k k ，且与 y \large y y 轴截距为 b \large b b 的直线
5.两点式
适用于不垂直于 x \large x x 轴、 y \large y y 轴的直线
( y − y 1 ) ( y 2 − y 1 ) = ( x − x 1 ) ( x 2 − x 1 ) ( x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 ) \frac{\left ( y-y_{1} \right )}{\left ( y_{2}-y_{1} \right )}=\frac{\left ( x-x_{1} \right )}{\left ( x_{2}-x_{1} \right )}\large \left ( x_{1}\neq x_{2},y_{1}\neq y_{2} \right ) (y2−y1)(y−y1)=(x2−x1)(x−x1)(x1=x2,y1=y2)
表示过点
( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) \large \left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right ) (x1,y1),(x2,y2)
的直线
6.点向式
适用于所有直线
( x − x 0 ) u = ( y − y 0 ) v ( u ≠ 0 , v ≠ 0 ) \large \frac{\left ( x-x_{0} \right )}{u}=\frac{\left ( y-y_{0} \right )}{v}\left ( u\neq 0,v\neq 0 \right ) u(x−x0)=v(y−y0)(u=0,v=0)
表示过定点
P ( x 0 , y 0 ) \large P\left ( x_{0},y_{0} \right ) P(x0,y0)
且方向向量为
( u , v ) \large \left ( u,v \right ) (u,v)
的直线
7.交点式
适用于所有直线
f 1 ( x , y ) ∗ m + f 2 ( x , y ) = 0 \large f_{1}\left ( x,y \right )*m+f_{2}\left ( x,y \right )=0 f1(x,y)∗m+f2(x,y)=0
表示过两直线
{ f 1 ( x , y ) = 0 f 2 ( x , y ) = 0 \large \left\{\begin{matrix} \large f_{1}\left ( x,y \right )=0\\ \large f_{2}\left ( x,y \right )=0 \end{matrix}\right. {f1(x,y)=0f2(x,y)=0
的交点的直线
8.法线式
适用于不平行于坐标轴的直线
x ⋅ c o s α + y ⋅ s i n α − p = 0 \large x\cdot cos \alpha +y\cdot sin \alpha -p=0 x⋅cosα+y⋅sinα−p=0
经过原点向已知直线做一条垂线段，垂线段所在直线倾角为 α \large \alpha α ，线段长度为 p \large p p ，表示过定点
P ( x 0 , y 0 ) \large P\left ( x_{0},y_{0} \right ) P(x0,y0)
且方向向量为
( u , v ) \large \left ( u,v \right ) (u,v)
9.法向式
适用于所有直线
( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0 \large \left ( x-x_{0} \right )+b\left ( y-y_{0} \right )=0 (x−x0)+b(y−y0)=0
表示经过定点
P ( x 0 , y 0 ) \large P\left ( x_{0},y_{0} \right ) P(x0,y0)
且与向量
( a , b ) \large \left ( a,b \right ) (a,b)
垂直的直线
10.点平式
适用于所有直线
f ( x , y ) − f ( x 0 − y 0 ) = 0 \large f\left ( x,y \right )-f\left ( x_{0}-y_{0} \right )=0 f(x,y)−f(x0−y0)=0
表示过点
( x 0 , y 0 ) \large \left ( x_{0},y_{0} \right ) (x0,y0)
且与直线
f ( x , y ) = 0 \large f \left ( x,y \right )=0 f(x,y)=0
平行的直线
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