SCAU 计算智能暴力美学（三）

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本文介绍了一个分数拆分问题的解决方案，即将1/k拆分为不超过三项的倒数之和。通过枚举策略，确定了枚举对象、范围及条件，特别关注了枚举过程中可能遇到的数据丢失问题，并给出了具体代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题三：18444 分数拆分

Description

输入正整数k（k<=1000），将1/k变为不少于2项，但不多于3项的1/(xi)之和，xi为正整数，且i表示序号

注：请使用long long

输入格式

多case，一行一个整数k

最后一行是0

输出格式

对每一个case，按等式最右边一项分母，由小到大排序输出满足条件的等式，最右边一项分母相同，则按最右边第二项，依次类推

每一个case完成后，输出一个空行（没有满足的等式时，也要输出该空行）

输入样例

输出样例

1/2=1/6+1/3
1/2=1/42+1/7+1/3
1/2=1/24+1/8+1/3
1/2=1/18+1/9+1/3
1/2=1/15+1/10+1/3
1/2=1/12+1/12+1/3
1/2=1/4+1/4
1/2=1/20+1/5+1/4
1/2=1/12+1/6+1/4
1/2=1/8+1/8+1/4
1/2=1/10+1/5+1/5
1/2=1/6+1/6+1/6

1/3=1/12+1/4
1/3=1/156+1/13+1/4
1/3=1/84+1/14+1/4
1/3=1/60+1/15+1/4
1/3=1/48+1/16+1/4
1/3=1/36+1/18+1/4
1/3=1/30+1/20+1/4
1/3=1/28+1/21+1/4
1/3=1/24+1/24+1/4
1/3=1/120+1/8+1/5
1/3=1/45+1/9+1/5
1/3=1/30+1/10+1/5
1/3=1/20+1/12+1/5
1/3=1/15+1/15+1/5
1/3=1/6+1/6
1/3=1/42+1/7+1/6
1/3=1/24+1/8+1/6
1/3=1/18+1/9+1/6
1/3=1/15+1/10+1/6
1/3=1/12+1/12+1/6
1/3=1/21+1/7+1/7
1/3=1/12+1/8+1/8
1/3=1/9+1/9+1/9

1/4=1/20+1/5
1/4=1/420+1/21+1/5
1/4=1/220+1/22+1/5
1/4=1/120+1/24+1/5
1/4=1/100+1/25+1/5
1/4=1/70+1/28+1/5
1/4=1/60+1/30+1/5
1/4=1/45+1/36+1/5
1/4=1/40+1/40+1/5
1/4=1/12+1/6
1/4=1/156+1/13+1/6
1/4=1/84+1/14+1/6
1/4=1/60+1/15+1/6
1/4=1/48+1/16+1/6
1/4=1/36+1/18+1/6
1/4=1/30+1/20+1/6
1/4=1/28+1/21+1/6
1/4=1/24+1/24+1/6
1/4=1/140+1/10+1/7
1/4=1/42+1/12+1/7
1/4=1/28+1/14+1/7
1/4=1/8+1/8
1/4=1/72+1/9+1/8
1/4=1/40+1/10+1/8
1/4=1/24+1/12+1/8
1/4=1/16+1/16+1/8
1/4=1/36+1/9+1/9
1/4=1/18+1/12+1/9
1/4=1/20+1/10+1/10
1/4=1/15+1/12+1/10
1/4=1/12+1/12+1/12

思路：

显然这是一个暴力枚举的问题，对于枚举而言，私以为大原则有一，关键有三。

大原则，简化问题，简化时间复杂度。

关键一：确定枚举对象

关键二：确定枚举范围

关键三：确定枚举条件，限制条件

最后再处理枚举过程中的细节问题，比如，乘法溢出问题，除法中的数据丢失问题，等等。

对于这道题，我们先简化分析他，对于两个的情况，1/x+1/y=1/ p。

那么我们就很轻松的可以想到，以其中一项为枚举对象，寻找枚举的范围，来实现枚举。

接下来就是对于枚举对象的选择问题，从而寻早枚举的范围，设定x>=y>p；

我们通过放大原式，可以得到， 1/y+1/y >= 1/x+1/y = 1/p;即，2/y>=1/p;

所以，可得y的枚举范围[1,2p];那么，反过来，缩小原式是不可以实现找到枚举范围的。

最后再限制枚举的条件，同样，我们分析并转化原式1/x=1/p-1/y;即，x=p*y/(y-p);

那么，据题目要求，我们需要判定，x=p*y/(y-p)是不是整数，且y<=2*p。

这里有一个方法，对于除法柿子，我们只需要判断p*y%(y-p)？=0，即判断p*y是否整除（y-p）；

那么三个项的情况，其实就可以转化为两个项的情况。对于,1 /x+1/y+1/z=1 /k；转化为->1/x+1/y= 1/k-1/z =1/p；同理我们设定，x>=y>=z>k

那么我们的枚举对象有两个，

第一个，先枚举z，利用已知的k，求得不同的p，判断，求出两个项的结果；

第二个，枚举y，利用求得的p，得到不同的x，判断，求出三个项的结果。

很自然的想到，我们的枚举范围是什么，同理，我们放大原式，得到z的范围，[1,3*k]；y的范围[1,2*p];

对于第一个枚举对象，我们可以看作，对1/p+1/z=1/k的枚举,同上，我们需要判断，p=k*z/(z-k)是不是整数，且z<=2*k;

对于第二个枚举对象，我们看作z已经确定，1/x+1/y=1/p的枚举，同上我们需要判断，x=p*y/(y-p)是不是整数，且 z<=y<=2*p；

理论上到这里我们就写完了，但是显而易见的我们需要处理一些枚举过程中的细节问题，

1.题目提示我们使用long long

2.其中包含了大量的除法计算，会存在数据丢失（四舍五入）的问题。题中，1/p=1/k-1/z 即 p=k*z/(z-k) 的结果不一定是一个整数。会导致第二个枚举的计算结果出现错误,还有枚举范围的偏差。

对于数据丢失导致计算错误的问题，这里处理方式为，分离k*z/(z-k)的分子和分母。记t1=k*z,t2=z-k;

很简单的数学转换，将p*y%(y-p)？=0 转化为-> y * t1 % (y * t2 - t1) == 0; x=p*y/(y-p) 转化为-> x = y * t1 / (y * t2 - t1);

对于数据丢失导致的y枚举范围变化问题，我们可以将y的范围变为[1,2*p+1]解决。

简单证明：已知，p=k*z/(z-k)的结果小数位数值<0.5为出现数据丢失。

那么p其实一共有两种情况，小数位 <0.5 或者小数位>=0.5;

1.设p=3.4，计算机中显示结果为3；令p+=0.5，p=3.9，计算机显示结果为4;防止丢失.

2.设p=3.6,计算机中显示结果为4；令p+=0.5，p=4.1，计算机显示结果为4;防止丢失.

那么y的范围可以写出[1,2*(p+0.5)]；

综上，分析结束，我们就可以写出如下代码。

#include<iostream>
using namespace std;
long long k ;
void show(long long x,long long y,long long z) {
	cout << "1/" << k << "=" << "1/" << x << "+" << "1/" << y << "+" << "1/" << z << endl;
}
void _show(long long y,long long z) {
	cout << "1/" << k << "=" << "1/" << y << "+" << "1/" << z << endl;

}
int main() {

	cin >> k;
	while (k) {
		long long x = 0, y = 0, z = 0, p = 0;;
		for (z = k + 1; z <= 3 * k; z++) {

			p = k * z / (z - k);
			if (z <= 2 * k && k * z % (z - k) == 0) { y = k * z / (z - k); _show(y, z); }
            //子母分离
			long long t1 = k * z;
			long long t2 = z - k;
			for (y = p + 1; y <= 2 * p + 1; y++) {
				if (y >= z && y * t1 % (y * t2 - t1) == 0) {
					x = y * t1 / (y * t2 - t1);
					//x = p * y / (y - p);
					show(x, y, z);
				}

			}
		}
		cout << endl;
		cin >> k;
	}
	

}

写得较急，如有错误，请不吝赐教。