行列式求值（C++）

对于行列式的求值主要有三种方法：①对角线相乘②行列式展开③代数余子式计算。

1. 对角线相乘
   对角线相乘需要行列式满足特定的要求，如上三角、下三角或者对角阵，否则不能直接使用此方法。如果需要使用这个方法，则需要对行列式进行初等行变换，直到满足要求。
   初等行变换性质：

   1. 交换任意两行，行列式的值变为相反数。
   2. 把某一行乘以一个非零数加到另外一行行列式的值不变。
   3. 行列式转置后，行列式的值不变，因此上述性质同样适用于列变换的情况。
      $$|D|=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}$$

   //采用上三角转换的方法求行列式的值
   #include <iostream>
   #include<iomanip>//这个头文件仅仅是用来设置cout的输出精度
   double determinant_value(double **D,int n)
   {
       if(n==1)
       {
           return D[0][0];
       }
       else if(n==0){
           throw "error: determinant is empty";
       }
       char flag = 1;//符号位
       double D_value = 0.0;
       double **D_temp = new double*[n];
       for (int i = 0; i < n;i++)
       {
           D_temp [i]= new double[n];
           for(int j=0;j<n;j++)
           {
               D_temp[i][j]=D[i][j];
           }
       }
       // 转为上三角
       for (int i = 0; i < n; i++)
       {
           if (D_temp[i][i] == 0)
           {
               int j = i + 1;
               // 将主对角线上的值转为非0值
               for (; j < n; j++)
               {
                   if (D_temp[j][i] != 0)
                   {
                       double temp;
                       for (int k = 0; k < n; k++)
                       {
                           temp = D_temp[i][k];
                           D_temp[i][k] = D_temp[j][k];
                           D_temp[j][k] = temp; // 交换两行
                       }
                       flag = -flag;
                       break;
                   }
               }
               if (j == n)
               {
                   return D_value;
               }
           }
           // 将主对角线下面的值转为0
           for (int j = i + 1; j < n; j++)
           {
               double temp = D_temp[j][i] / D_temp[i][i];
               for (int k = i; k < n; k++)
               {
                   D_temp[j][k] -= temp * D_temp[i][k];
               }
           }
       }
       // 计算行列式的值
       D_value = 1.0;
       for (int i = 0; i < n; i++)
       {
           D_value *= D_temp[i][i];
       }
       D_value*=flag;
       for (int i = 0; i < n;i++)
       {
           delete[] D_temp[i];
       }
       delete [] D_temp;
       return D_value;
   }
   int main()
   {
       int n;
       std::cout << "请输入n的值,n代表矩阵的维数:";
       std::cin>>n;//n维
       double **D=new double *[n];
       std::cout<<"请输入矩阵的元素:"<<std::endl;;
       for(int i=0;i<n;i++)
       {
           D[i]=new double[n];
           for(int j=0;j<n;j++)
           {
               std::cin>>D[i][j];//每次输入一个数字都用空格隔开,输入样例
               //1 2 3\enter
               //4 5 6\enter
               //7 8 9\enter
           }
       }
       
       std::cout<<"行列式的值"<<std::setprecision(8)<<determinant_value(D,n);
       for(int i=0;i<n;i++)
       {
           delete[] D[i];
       }
       delete[] D;
       return 0;
   }
   

   测试结果如下：
   

2. 行列式展开
   此方法多用于二阶、三阶行列式，对于高阶行列式计算比较困难，展开项数多达$n!$项，四阶行列式展开多达24项，计算量非常大。
   二阶
   $$|D|=d_{11}\ast d_{22}-d_{12}\ast d_{21}$$
   三阶
   $$|D|</$$