平衡二叉树（AVL树）_二叉搜索树某结点左子树和右子树的高度之差称为-优快云博客

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本文详细介绍了AVL树的定义，包括其作为平衡二叉搜索树的特性，以及如何通过左旋、右旋操作保持树的平衡。提供了新建结点、获取高度、计算平衡因子、更新高度等基本操作的代码实现，并展示了插入操作的详细过程，说明了插入后如何进行平衡调整。此外，还给出了AVL树的建立方法。

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平衡二叉树的定义：

是BST，但是添加了平衡的要求：对于AVL树的任意结点来说，其左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。其中左子树和右子树的高度差称为该结点的平衡因子。
AVL树是对BST的调整，让树的高度在每次插入元素之后仍然能保持O(logn)的级别，这样能让查询操作仍然是O(logn)的时间复杂度。

结点定义：

struct node{
	int v, height;
	node *lchild, *rchild;
};

新建结点：

node* newNode(int v){
	node* Node = new node;
	Node->v = v;
	Node->height = 1;
	Node->lchild = Node->rchild = NULL;
	return Node;
}

获取结点root所在子树当前高度：

int getHeight(node* root){
	if(root == NULL)
		return 0;
	return root->height;
}

计算root结点的平衡因子：

int getBalanceFactor(node* root){
	return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);
}

更新结点root的height：

void updateHeight(node* root){
	root->height = max(getHeight(root->lchild), getHeight(root->rchild)) + 1;
}

平衡二叉树的基本操作

查找插入建树删除
1、查找操作（与BST相同～）

void search(node* root, int x){
	if(root == NULL){
		printf("search failed\n");
		return;
	}
	if(x == root->data){
		printf("%d\n", root->data);
	}else if(x < root->data){
		search(root->lchild, x);
	}else{
		search(root->rchild, x);
	}
}

2、插入操作

（假设原本的状态是，A是根结点，B是A的右孩子）
左旋的调整步骤：
1、让B的左子树变成A的右子树
2、让A成为B的左子树
3、将根结点设为B
左旋代码如下：

void L(node* root){
	node* temp = root->rchild;
	root->rchild = temp->lchild;
	temp->lchild = root;
	updateHeight(root);
	updateHeight(temp);
	root = temp;
}

右旋的调整步骤：
1、让A的右子树成为B的左子树
2、让B成为A的右子树
3、将根结点设为A

void R(node* root){
	node* temp = root->lchild;
	root->lchild = temp->rchild;
	temp->rchild = root;
	updateHeight(root);
	updateHeight(temp);
	root = temp;
}

左旋和右旋为互逆操作～

***插入之后AVL树失衡，进行调整有一个结论：
只要把最靠近插入结点的失衡点调整到正常，那么路径上的所有结点都会平衡。***

在这里插入图片描述

void insert(node* &root, int v){
	if(root == NULL){
		root = newNode(v);
		return;
	}
	if(v < root->data){
		insert(root->lchild, v);
		updateHeight(root);
		if(getBalanceFactor(root) == 2){
			if(getBalanceFactor(root->lchild) == 1){
				R(root);
			}else if(getBalanceFactor(root->rchild) == -1){
				L(root->lchild);
				R(root);
			}
		}
	}else{
		insert(root->rchild, v);
		updateHeight(root);
		if(getBalanceFactor(root) == -2){
			if(getBalanceFactor(root->rchild) == -1){
				L(root);
			}else if(getBalanceFactor(root->lchild) == 1){
				R(root->lchild);
				L(root);
			}
		}
	}
}

3、AVL树的建立：

node* Create(int data[], int n){
	node* root = NULL;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		insert(root, data[i]);
	}
	return root;
}