数论_欧拉函数_快速幂_欧几里得_逆元_素数筛

欧拉函数

欧拉函数的基本概念

对于一个正整数n，小于或等于n且与n互质的正整数（包括1）的个数称为n的欧拉函数值。
φ(n)=n*(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))……(1-1/p(k)) 其中p(1),p(2)…p(k)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。
例如:
φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

欧拉函数的性质

1、
若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ§=p-1。
若N是质数p的k次幂(即N=p^k),φ(n)= p^k-p^k-1=(p-1)p^(k-1)
2、
设n为正整数，以φ(n)表示n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。
3、
若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)，此公式即欧拉定理。
当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则根据性质1有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)，此公式即费马小定理。

求欧拉函数值

typedef int type;//这里的type可以指定为long long
type phi(type a)//求a的欧拉函数值
{
    type temp=a;
    for(int i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            while(a%i==0)
                a/=i;
            temp=temp/i*(i-1);
        }
    }
    if(a!=1)
        temp=temp/a*(a-1);
    return temp;
}

当然也可以先将值存储到数组中，在某些题目里可能比较快。

#define maxn 1005
typedef int type;//这里的type可以指定为long long
type ph[maxn];//用ph数组来表示欧拉函数值
void euler()
{
    ph[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(!ph[i])
            for(int j=i; j<maxn; j+=i)
            {
                if(!ph[j])ph[j]=j;
                ph[j]=ph[j]/i*(i-1);
            }
    }
}

暂时写到这里，往后学地更加深入之后我会添加相应的内容。

快速幂

题目背景

很简单，给定三个数A,B,k，求A^kmod B的值。
解决思路就是知道A^k/2的值，那么A^k=(A^k/2)²，相当于是使用了二分的思想。

typedef int type;
type modd(type a,type k,type b)//求a^k mod b的值
{
    type temp,ans;
    ans=1;
    temp=a;
    while(k!=0)
    {
        if(k&1)//第i次使用这个判断，判断的是原来的k第i是否为1，如果是1，就把前面算出来的temp值乘进去
            ans=ans*temp%b;
        temp=temp*temp%b;//计算a的2的i+1次方模b的值，为下一次循环做准备
        k=k>>1;//对k除以2
    }
    return ans;
}

欧拉函数的性质

欧几里得算法（辗转相除法）

求最大公因数

递归算法

typedef int type;
type gcd1(type a,type b)//递归求a和b的最大公因数。
{
    if(b==0)
        return a;
    else 
        return gcd1(b,a%b);
}

非递归算法

typedef int type;
type gcd2(type a,type b)//非递归求a和b的最大公因数
{
    type temp;
    while(b != 0)
    {
        a = a%b;
        temp = b;
        b = a;
        a = temp;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得算法

算法描述

扩展欧几里得算法是欧几里得算法的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式：ax+by=gcd(a,b).
如果a是负数，可以把问题转化成|a|(-x)+by=gcd(|a|,b)，然后令x’=(-x)。

代码实现

typedef int type;
type gcd(type a,type b,type& x1,type& x2)//扩展欧几里得算法求x1*a+x2*b=gcd(a,b)中的x1和x2
{
    if(b==0)
    {
        x1=1;
        x2=0;
        return a;
    }
    type r=gcd(b,a%b,x1,x2);
    type t=x1;
    x1=x2;
    x2=t-x2*(a/b);
    return r;
}

扩展欧几里得算法的一些应用

一般可以用来计算乘法逆元：ax≡ 1(mod m)，这里我们称x 是 a 关于 m 的乘法逆元，等价于ax + my = 1，只有当gcd(a,m)=1时是有解的，根据这一结论可以扩展得出得出一个结论：ax + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) = 0。
这里直接给出一个结论：
对于方程ax+by=c，令d=gcd(a,b)求出一组特解x0，y0，乘上c/d就得到特解。
通解：
x=(c/d)x0+(b/d)*k
y=(c/d)y0+(a/d)*k(k为整数)

计算乘法逆元的代码

扩展欧几里得计算乘法逆元：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll res=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;       ///x=x1,y=x1-a/b*y1   x1,y1代表下一状态
    return res;
}
int main()
{
    ll a,p,x,y;  ///扩展欧几里得计算a的逆元（mod p）
    scanf("%lld%lld",&a,&p);
    ll d=exgcd(a,p,x,y);
    printf(d==1?"%lld":"-1",(x+p)%p);///最大公约数不为1，逆元不存在，输出-1     return 0;
}

费马小定理求乘法逆元：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;

ll quickpowmod(ll a,ll b,ll mod)//快速幂求a^b%mod，如果求逆元的话要求b=p-2
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a,p;  ///费马小定理计算a的逆元（mod p）
    scanf("%lld%lld",&a,&p);
    ll inva=quickpowmod(a,p-2,p);
    printf("%lld",inva);
    return 0;
}

素数筛

const int MAXN=3e7+10;
int prime[MAXN/2];//存储素数
bool noprime[MAXN];//用于标记是否是素数

void init()
{
    memset(noprime,false,sizeof(noprime));
    int sk=0;
    for (int i=2; i<=MAXN; i++)
    {
        if (!noprime[i]) prime[++sk]=i;
        for (int j=1; j<=sk&&i*prime[j]<=MAXN; j++)
        {
            noprime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}