洛谷B3941 [GESP样题 五级] 小杨的锻炼

原理

该程序通过迭代计算相邻元素的最小公倍数（LCM）​，逐步将数组中的元素合并，最终得到整个数组的最小公倍数。具体原理如下：

1. ​LCM 的传递性​
   LCM 满足结合律，即 lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)。程序通过逐个合并相邻元素，最终得到整个数组的 LCM。
2. ​逐步覆盖数组​
   每次计算当前元素与下一个元素的 LCM，并将结果覆盖到下一个元素的位置。最终最后一个元素即为整个数组的 LCM。

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步骤

1. ​输入处理​
   读取整数 n 和包含 n 个元素的数组 A。
2. ​迭代计算 LCM​
   从第一个元素开始，依次计算当前元素与下一个元素的 LCM，并将结果覆盖到下一个元素的位置。
3. ​输出结果​
   数组的最后一个元素即为整个数组的 LCM。

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图示法示例（输入：[2, 3, 4]）

初始数组: [2, 3, 4]
步骤1: 计算 lcm(2,3)=6 → 数组变为 [2, 6, 4]
步骤2: 计算 lcm(6,4)=12 → 数组变为 [2, 6, 12]
输出: 12

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代码程序及关键行注释

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 计算最大公约数（GCD）
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

// 计算最小公倍数（LCM）
int lcm(int a, int b) {
    if (a == 0 || b == 0) return 0; // 处理边界情况
    return (a / gcd(a, b)) * b;     // 公式：LCM(a,b) = a*b / GCD(a,b)
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> A(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> A[i];
    }
    
    int i = 0;
    while (i < n - 1) { // 遍历到倒数第二个元素
        A[i + 1] = lcm(A[i], A[i + 1]); // 将后一个元素替换为当前LCM
        i++;
    }
    
    cout << A[n - 1] << endl; // 输出最后一个元素（即最终LCM）
    return 0;
}

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时间复杂度

1. ​单次 LCM 计算​
   每次 LCM 计算的时间复杂度为 O(log(min(a, b)))，其中 a 和 b 为参与计算的两个数。
2. ​总时间复杂度​
   数组需要遍历 n-1 次，总时间复杂度为 O(n * log M)，其中 M 为数组中的最大值。

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总结

1. ​核心思想​
   利用 LCM 的结合律，通过迭代合并相邻元素，逐步计算整个数组的 LCM。
2. ​优点​
   代码简洁，逻辑清晰，适用于小规模数据。
3. ​潜在问题​
   若数组元素较大或较多，LCM 值可能超出整数范围（需根据题目约束判断）。
4. ​适用场景​
   适用于输入规模较小且数值范围可控的场景。若数值过大，需改用大数处理或优化算法。