cf #818 Div.2(A~C)

Cf #818 Div.2

A. Madoka and Strange Thoughts

• 题意

  • 问1~n中有多少对(a,b)满足lcm(a,b)<=3*gcd(a,b)

• 题解

  • 已知lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)，所以原式可以化为，并且只有如下几种情况符合要求，下列式子中认为a,b等价，但是题目中非等价，简写
    $$\begin{gathered} \frac{a\times b}{gc{d}^2(a,b)}<=3 \\ 设gcd(a,b)=t; \\ 1.a=b=t \\ 2.a=t,b=2t \\ 3.a=t,b=3t \end{gathered}$$

  • 因此1~n中，有n对a=b的，有n/2对a=t,b=2t的，有n/3对a=t,b=2t的。同时a,b位置可以互换

• 代码

#include <iostream>

using namespace std;
int n;

void solve() {
    cin>>n;
    cout<<n+(n/2+n/3)*2<<'\n';
}

int main() {
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    
    return 0;
}

B. Meeting on the Line

• 题意

  • 有n阶的棋盘，n为k的倍数，构造一个每k个行或者列的格子都至少有一个’X’的其他都为’.‘的棋盘。给定一个位置(r,c)放置’X’，输出一个’X’最少的棋盘情况

• 题解

  • 棋盘放的最少的个数是确定的，每一行都需要放置n/k个’X’，所以总共要放置n*n/k个’X’
  • 对于一个k*k的小棋盘，在副对角线上放置’X’为一种构造方式，放在副对角线还有一个好处，就是副对角线上的横纵坐标之和恒定，方便计算和构造
  • 对于n*n的棋盘，在给定点所在的副对角线放上’X’之后，还需要上下左右平移k个位置后得到的对角线放上’X’，即对所有的坐标(i,j)若满足**(i+j)%k==(r+c)%k**则放置’X’，否则放置’.'，易证得其位置一定符合要求且’X’数量为最小

• 代码

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

void solve() {
    int n,k,r,c;
    cin>>n>>k>>r>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            if(abs(i+j-r-c)%k==0) cout<<'X';
            else cout<<'.';
        }
        puts("");
    }
}

int main() {
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    
    return 0;
}

C. Madoka and Formal Statement

• 题意

  • 给定两个长度为n的数组a,b，经过若干操作，问能否将a变成b
  • 操作：若a[i]<=a[(i+1)%n]，则a[i]++

• 题解

  • 对于a[i]!=b[i]时，若a[i]>b[i]，则不可能完成变换；若a[i]<b[i]，要将a[i]变成b[i]，需要保证b[i+1]+1>=b[i]，因为一定能找到一种贪心方法，将a[i+1]变成b[i]-1

• 代码

#include <iostream>

using namespace std;
const int N=2e5+10;

int n,a[N],b[N];

void solve() {
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>b[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
      //不合法的情况
        if( a[i]>b[i] || (a[i]!=b[i] && b[i]>b[(i+1)%n]+1) ) {
            puts("NO");
            return ;
        }
    
    puts("YES");
}

int main() {
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    
    return 0;
}