2022年5月22日-Taylor级数的python实验

Taylor级数的python实验

引言

众所周知，对于任意一个函数，我们可以选用一组基函数拟合这个函数。什么，你不知道！好吧，没有关系，这是一个很简单的东西，相信在我的解释下，你很快就懂了！

泰勒级数

高等数学里我们学习了一个叫Taylor公式的玩意，即：
$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}{(x-x_0)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x)$$
这里我们从选择$x_0=0$来拟合任意一个函数，这样我们的公式就变成麦克劳林公式。

python实验

我们就用上面的泰勒级数里的每一项作为基来拟合$sin(x)$好了，看一下拟合的效果。首先上代码：

import torch
from matplotlib import pyplot as plt
import math
from matplotlib_inline import backend_inline

X = torch.arange(-20, 20, 0.1, dtype=torch.float64)
Y_sin = torch.sin(X)
def sin_taylor(X):
    m = 10 # 指Tyle公式的阶数
    Y = torch.zeros_like(X)
    for i in range(1, m + 1):
        Y += (-1)**(i - 1) / math.factorial((2 * i - 1)) * torch.pow(X, 2 * i - 1)
    return Y
Y_taylor = sin_taylor(X)
 
f = plt.figure(figsize=(10, 3))
backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
axes = f.gca()
axes.set_ylim(-2, 2)
axes.plot(X, Y_sin, 'r-', X, Y_taylor, 'b--')

注意我们$sin\_taylor$函数里的$m$用来指示我们用多少阶的泰勒来拟合，即泰勒公式多项式的个数。这个多项式的个数决定了我们拟合的精确度，让我们改变阶数看一下实际效果就清楚了。





很明显因为我们选用$x_0=0$来拟合$sin(x)$，所以在$0$附近曲线基本上一致，但离远了就不行了。不过随着阶数（order）的提高，这个一致的范围会变大。可以猜想如果阶数趋于无穷的话，泰勒公式是可以完全拟合任意一个函数的。

向量空间

学过线性代数的我们肯定知道什么是向量空间，那一个函数能否看成一个向量能？很显然是可以的，例如$sin(x)$可以看成$[sin(x_1),sin(x_2),sin(x_3)...sin(x_n)]$其中：$n=+\infty$，这是一个无穷维的向量。那么这个向量肯定存在于一个无穷维的线性空间中，那么这个线性空间对应的基应该也有无穷个才对。
最后，很自然的如果要拟合一个函数的话就需要无穷多个基才行，这就解释了为什么泰勒公式上面的实验现象

后记

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