论文精读：复杂城市背后的简单空间标度定律

论文精读：Simple spatial scaling rules behind complex cities

[1] Li, R., Dong, L., Zhang, J., Wang, X., Wang, W. X., Di, Z., & Stanley, H. E. (2017). Simple spatial scaling rules behind complex cities. Nature communications, 8(1), 1-7.

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摘要

尽管人类的交流与合作创造了大部分的财富和创新，我们并不能定量地预测城市中三个主要元素：人口、道路和社会经济互动的空间分布。通过一个主要基于空间吸引力和匹配生长机制的简单模型，我们揭示了这三个元素的空间尺度规则是在一个一致的框架内，这允许我们使用任何单一的观测来推断其他元素。数值和理论结果与10个代表性城市的实际 (empirical) 数据基本一致。此外，我们的模型还可以对普遍的超线性和次线性总尺度律的起源提供一般性的解释，并能准确预测公里级社会经济活动。我们的工作从城市要素之间的相互作用出发，为揭示城市的演变开辟了一条新的途径，具有广泛的应用前景。

Although most of wealth and innovation have been the result of human interaction and cooperation, we are not yet able to quantitatively predict the spatial distributions of three main elements of cities: population, roads, and socioeconomic interactions. By a simple model mainly based on spatial attraction and matching growth mechanisms, we reveal that the spatial scaling rules of these three elements are in a consistent framework, which allows us to use any single observation to infer the others. All numerical and theoretical results are consitent with empirical data from ten representative cities. In addition, our model can also provide a general explanation of the origins of the universal super- and sub-linear aggregate scaling laws and accurately predict kilometre-level socioeconomic activity. Our work opens a new avenue for uncovering the evolution of cities in terms of the interplay among urban elements, and it has a broad range of applications.

Introduction

城市是一个由多种元素如建筑、人、道路、交通和交互等组成的一个典型复杂系统。了解这些元素的努力趋向于对它们进行分别检验，聚焦于如城市形态、人口分布、地区人群异速生长、道路网络、污染和交通拥堵(congestion)、财富和创新力以及租金价格等。然而，城市并不是这些独立碎片的简单融合，而是囊括了基础设施、经济、社会元素的多方面(many facets)整合。所以，如果我们想要定量地描述它们的特征，我们必须将城市视作交互的、相互依存的(interdependence)复杂系统，而不要分别看待每个城市元素。

在过去的十多年里，有相当的成果已经揭示了人口在决定和预测产出、创新、犯罪、交通量以及其他集体城市变量中的重要作用。根据其功能，缩放变量可分为三个普适性类:具有超线性缩放的交互相关变量，具有亚线性缩放的基础设施变量，以及具有近线性缩放的家庭相关变量。 (The scaling variables fall into three universality classes according to their functionality: interaction-related variables with super-linear scalings, infrastructural variables with sub-linear scalings, and household-related variables with nearly linear scalings. ) 请注意，层次结构产生了规模定律，并说明了它们的联系和相关性。城市规模理论为支撑城市可持续发展的规模经济提供了定量证据。(The scaling theory of cities provides quantitative evidence for the economies of scale that underpin the sustainable development of cities.) 其他的研究聚焦于不同元素如一个城市内建成区、人口、交通网络以及经济社会交互的空间分布。

尽管城市研究取得了一定的进展，但对于城市内部各要素的空间分布和城市间的宏观尺度规律仍然缺乏统一的理论框架。（Despite advances in the study of cities, we still lack a unified theoretical framework for the spatial distributions of various elements within cities and macroscopic scaling laws across cities.）微观层面上要素间的相互作用以及空间分布与总体尺度规律的关系仍然是一个突出的问题。(Both the interplay among elements at the microscopic level and the relationship between spatial distributions and aggregate scaling laws remain outstanding problems. )解决它们对城镇规划、路网规划和交通效率、流行病学和应急管理等其他应用有重要意义。

在本文中，我们使用了一个动力学模型来交互空间分布和总规模定律的演化。具体来说，我们提出了一个简单的空间吸引(SA)机制，该机制结合了人口聚集之间的竞争和城市新区域的探索，以确定活跃人口(AP)的空间分布。根据其在该地区活动的时间长短，AP分为居住人口和工作人口。这是一个相比于简单的居住人口更合适的代理(proxy)来估计社会经济活动。活跃人口聚集区对社会经济互动的需求推动了道路网络的增长和扩展。路网的发展促进了不同地区(regions)之间的社会经济交互。因此一个本地AP在城市人口、路网以及经济社会交互之中起到了重要作用。我们的模型成功的再现(reproduces)了他们的空间分布，并揭示了他们距离中心区域的空间尺度是一致的形式，这允许我们从一个单一的观察获得其他空间尺度(and reveals that their spatial scalings of the distance from the central area are in a consistent form that allows us to obtain other spatial scalings from a single observation.)。此外，这种空间标度解释了与聚合变量的超线性和次线性标度相关的宏观定律的起源(In addition, such spatial scalings explain the origins of the macroscopic laws associated with both super- and sub-linear scalings of aggregate variables.)。 并且我们的理论分析是基于动态增长而不是静态假设，这超出了以往研究的方法(And our theoretical analysis is based on dynamic growth not static assumptions, and this goes beyond the methods used in previous researches.)。我们的模型还能够使用当地活跃的人来准确预测当地的密度，如大伦敦地区的公里级社会经济互动，如夜间灯光亮度强度所示。

Result

A unified model based on a spatial attraction and matching growth mechanism.

基于空间吸引力和匹配增长机制的统一模型。

假设在一个2-D欧几里得空间里$L\times L$的格子发生了聚集由此产生了城市。基础的聚集单位是一个活跃社区，也即一个格子里的节点。在这里，AP并不是一个独立的人，而是一个给定区域内的交互单元。最开始，我们在格子中间生成一个活跃社区(种子节点)。受到研究42的启迪，我们想出了一个空间吸引机制(SA)，其中假定每一个时间步里都有一个新的活跃社区以$(r,\theta )$的概率诞生。
$$\Pi (r,\theta ,t)\propto \rho (r,\theta ,t)+C\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$r$是与中心区域的距离,$\theta$是新节点的极角，$\rho (r,\theta ,t)$是区域$(r,\theta )$在时间$t$时的活跃人口密度。$C$是描述用于居住或开发的空地吸引力的自由参数，它可以是自然禀赋吸引力或土地约束政策效应的代理。(C is a free parameter characterising the attraction of an empty place for habitation or development, which can be a proxy of attraction for natural endowment or policy effects on land constraints.) 如果新的节点完全封闭于(即：欧几里得距离小于给定阈值$r_0$)之前存在的节点，它就会被保留，如果不是这样，它就会因为过高的交流成本而不能加入城市，如下图1(a)。这也就是我们所说的匹配生长机制。在我们的模型里，$r_0$是一个由科技和交通发展水平决定的常量。

注释：1(A)空间吸引过程的草图。节点中的数字是它们加入系统的顺序。节点周围半径为$r_0$/2的灰色大圆盘是节点的互连范围。只有当一个节点的灰色磁盘与其他节点的现有磁盘(即整个灰色阴影区域)重叠时，该节点才能生存。因此，节点4无法存活。

空间引力机制定量了对城市外来者而言，人口聚集(Eq. (1)的第一项和生存规则)与搜索空白生存空间(Eq.(1)的第二项)之间的竞争。$C$是衡量在城市演化过程中这两个因素之间的影响作用的参数。参数$C$代表了一个地区在没有任何人口时的自然吸引力。

基于活跃人口构建道路网络

通过我们的单参数模型，我们可以定量地再现活跃人口的聚集模式(如图1©)。随着这一人口聚集的逐渐增大，人们之间交流的需要促使了道路网络的发展与扩张。我们假设两个节点之间的一个路段典型的长度为$l_0$，由本地活跃人口的密度决定，其形式是${\rho }^{-\frac{1}{2}}$，并且在一个极小的范围内，人均面积总长度$l(r,\theta ,t)$在$t$时间，$(r,\theta )$地点，为：
$$l(r,\theta ,t)\propto \rho (r,\theta ,t{)}^{\frac{1}{2}}\text{\hspace{1em}(2)}$$
这在量纲分析(dimensional analysis)和实际数据上都得到了验证。

道路沿线的社会经济互动。

人群的聚集和道路网络的发展促进了对经济发展和创新而言至关重要的社会经济互动。我们假设所有的互动都沿着道路发生，而且一个城市社会经济的产出(比如说区域GDP总产量，GRDP)大致与经济社会的互动总数成正相关。这与观察到的所有市场、公司和商店都建在路边是一致的(This is in accordance with the observation that all markets, companies, and shops are built along roadsides.)。因此，与公式(2)一起，社会经济交互强度$g(r,\theta ,t)$和活跃人口密度$\rho (r,\theta ,t)$在在无穷小空间中可被定义为：
$$g(r,\theta ,t)\propto \rho (r,\theta ,t)l(r,\theta ,t)\propto \rho (r,\theta ,t{)}^{\frac{3}{2}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

空间尺度

我们简单的规则产生了活跃人口、道路网络和社会经济交互的分布(如图1.b,c)。活跃人口AP的分布和它的形态(morphology)与伦敦市的真实发展情况相一致。(如图1.d).

这个模型允许我们去定量这些预测。根据SA机制，当$t$足够大时，对AP的空间分布大致为：
$$\rho (r,t)\propto r^{-\beta }(R(t{)}^{1+\beta })\sim r^{-\beta }\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$\rho (r,t)$为距离城市中心$r$时的平均密度，$R(t)$是在时间$t$时整个城市的半径，$\beta$是一个由$C$衍生而来的参数。$\beta$对$C$的依赖(如图2)可以由非线性拟合得到，仿真结果如图2.b所示。图2c显示收集的数据验证了Eq.(4)。在真实数据中，AP根据他们各自在区域内的活跃时长被定义为工作和居民人口的混合体。在市区(即：$\frac{r}{R(t)}\to 0$)，AP的密度遵循Eq.(4)的规律进行衰减。相比之下，随着我们从城市中心向城市边缘移动，居住人口密度呈指数衰减，这在之前的研究和我们的数据中得到了验证(见补充图8)。这调和了文献中发现的面积大小异速生长和人口从城市中心到城市边缘指数衰减之间的矛盾。为了消除经验数据中噪声的影响，允许不同数量的无偏比较，我们从距离中心区域的距离来研究累积数量，而不是从局部密度来研究(见图3)。（To eliminate the influence of noise in the empirical data and allow an unbiased comparison of different quantities, we study the cumulative quantities in terms of the distance from the central area instead of the local density (see Fig. 3)）对Eq.(4)积分得到：
$$P(r,t)={\int }_0^r{\int }_0^{2\pi }\rho (x,\theta ,t)xdxd\theta \propto r^{2-\beta }(\frac{R(t{)}^{1+\beta }}{2-\beta }-\frac{r^{1+\beta }}{3}\sim r^{1-\beta })\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中，$P(r,t)$为以r为半径的中心区同心圆内累积AP。这个表达式近似为当$r\ll R(t)$指数为2-$\beta$的幂律。这与分形城市假说相一致，而且分形维数为2-$\beta$，如果AP的分区和建筑都相似的话。同样，我们可以计算累积道路长度和社会经济交互作用，如下：

因此，在以$r$为半径的圆中，路网总长度和社会经济交互总量的指数是$2-\frac{\beta }{2}$和$2-\frac{3\beta }{2}$。这些预测与图3中展示的北京和伦敦的数据相一致。由于需要高分辨率(high-resolution)数据，我们选择使用夜间灯光数据作为社会经济交互的代理。尽管夜间灯光数据在表示高分辨率交互时有一些固有的缺点(如：在社区层面，光度也与道路密度和土地用途相关)，但它仍是公开数据中最合适的候选。我们在附加材料中展现了，只要空间演化不是非常高的话，它保持是一个合适的代理。因此，基于公式(5)-(7)，我们可以得到其他空间尺度指数。

聚集标度定律

除了可以提供以上三个主要变量的空间分布之外，这个模型也同样可以在聚集层面产生其他的标度定律，比如说总面积、总公路里程长度和GDP对人口的依赖。注意到公式(2-3)是十分有效的函数，因此我们可以使用下述的一般形式来促进我们的讨论：
$$y\propto {\rho }^{\eta }\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中，$y$可以表示$\rho ,l$或者是$g$，相应的$\eta$分别为1,1/2,3/2。如果我们取$\eta =0$，那么我们就可以使用公式9计算城市的总面积了。使用如公式4所示的活跃人口的空间标度定律，我们可以通过对密度的积分来衡量聚集变量对人口的独立性，如下式：
$$Y(t)={\int }_0^{R(t)}{\int }_0^{2\pi }{\rho }^{\eta }(r,\theta ,t)rdrd\theta \sim R(t{)}^{2+\eta }\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中，$Y(t)$代表区域$A(t)$，人口$P(t)$，总公路长$L(t)$和总社会经济交互量$G(t)$的总和，当$\eta$分别为0,1,1/2和3/2时。我们也使用美国的城市来验证我们得到的这些关系，结论是相似的。预测和实际数据之间的误差可能是由地位区位和城市之间的异质条件所引起。这也在一定程度上解释了为什么城市是分形的。